Question

在△ABC中，BD、CE是邊AC、AB上的中線，BD與CE相交于點O，①BO與OD的長度有什么關(guān)系？請證明．
②BC邊上的中線是否一定過點O？為什么？”

Answer 1

①解：BO=2OD．理由如下：
連接DE．
∵BD、CE是邊AC、AB上的中線，
∴DE∥BC，DE=BC．
∴△ODE∽△OBC，
∴，
即BO=2OD．

②解：BC邊上的中線一定過點O，
理由是：作BC邊上的中線AF，交BD于M，連接DF，
∵BD、AF是邊AC、BC上的中線，
∴DF∥BA，DF=BA．
∴△MDF∽△MBA，
∴===，
即BD=3DM，
∵BD=BO，
∴O和M重合，
即BC邊上的中線一定過點O．
分析：①連接DE．根據(jù)三角形的中位線定理，得DE∥BC，DE=BC．根據(jù)平行得到三角形ODE相似于三角形OBC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．
②連接DE．根據(jù)三角形的中位線定理，得DF∥BA，DF=BA．根據(jù)平行得到三角形MDF相似于三角形MBA，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．
點評：此題考查了三角形的中位線定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)．