Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠ACB=90°，A（0，1），
C（-2，0），且

BC

AC

=3．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）將Rt△ABC沿x軸的正方向平移一定距離到Rt△A₁B₁C₁位置，A，B 兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A₁，B₁恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)C₁的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)Q為反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上的一點(diǎn)，問在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PQC₁∽△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，易證得△BDC∽△COA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案；
（2）首先由平移，設(shè)A₁（m，1），B₁（n，6），可得m-n=5，又由A₁，B₁恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，得m=6n，即可求得m與n的值，繼而求得反比例函數(shù)的解析式和點(diǎn)C₁的坐標(biāo)；
（3）由要使△PQ C₁∽△ABC，則需∠PC₁Q=∠ACB=90°，然后過點(diǎn)C₁作C₁Q⊥x軸，交y=

6

x

為點(diǎn)Q，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，
則∠BDC=∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠DCB+∠DBC=90°，∠DCB+∠ACO=90°，
∴∠DBC=∠ACO，
∴△BDC∽△COA，
∴

BD

CO

=

DC

AO

=

BC

AC

=3，
∵A（0，1），C（-2，0），
∴OA=1，OC=2，
∴BD=6，DC=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)（-5，6）；

（2）由平移，設(shè)A₁（m，1），B₁（n，6），
由平移，得m-n=5，
由A₁，B₁恰好落在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，得m=6n，
∴m=6，n=1，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

6

x

，點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為：（4，0）；

（3）存在，要使△PQ C₁∽△ABC，則需∠PC₁Q=∠ACB=90°，
過點(diǎn)C₁作C₁Q⊥x軸，交y=

6

x

為點(diǎn)Q，
要使△PQC₁∽△ABC，由已知

BC

AC

=3，則需

C1Q

PC1

=3，
由C₁（4，0），得Q（4，

3

2

），
∴QC₁=

3

2

，PC₁=

1

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（

7

2

，0），（

9

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．