定義:對于任意的三角形,設其三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°,若滿足,則稱這個三角形為勾股三角形.

(1)已知某一勾股三角形的三個內(nèi)角度數(shù)從小到大依次為x°、y°和z°,且xy=2160,求x+y的值;

(2)如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB=,AC=,BC=2,BE是⊙O的直徑,交AC于D.         

 

①求證:△ABC是勾股三角形;

②求DE的長.

 

【答案】

(1)102;(2)①過B作BH⊥AC于H,設AH=x,則CH=,在Rt△ABH和Rt△CBH中,根據(jù)勾股定理即可求得,所以,則可得,再根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得結論;②

【解析】

試題分析:(1)由三角形的內(nèi)角和、、xy=2160可得關于x、y、z的方程組,即可求得結果;

(2)①過B作BH⊥AC于H,設AH=x,則CH=,在Rt△ABH和Rt△CBH中,根據(jù)勾股定理即可求得,所以,則可得,再根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得結論;②連接CE,則,再根據(jù)圓周角定理可得,即得BC=CE=2,,過D作DK⊥AB于K,設KD=h,則,由,即可求得結果.

(1)由題意可得:

由(3)得: 代入(2)得:

把(1)代入得:

(2)①過B作BH⊥AC于H,設AH=x,則CH=,

Rt△ABH中,,Rt△CBH中,

解得: 所以,

所以,                            

因為, 所以,△ABC是勾股三角形

②連接CE,則,又BE是直徑,所以,

所以,BC=CE=2,

過D作DK⊥AB于K,設KD=h,則

所以,

所以,

考點:圓的綜合題

點評:此類問題綜合性強,難度較大,在中考中比較常見,一般作為壓軸題,題目比較典型.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2007•東城區(qū)一模)我們給出如下定義:如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍,我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c.
(1)若∠A=2∠B,且∠A=60°,求證:a2=b(b+c).
(2)如果對于任意的倍角三角形ABC(如圖),其中∠A=2∠B,關系式a2=b(b+c)是否仍然成立?請證明你的結論;
(3)試求出一個倍角三角形的三條邊的長,使這三條邊長恰為三個連續(xù)的正整數(shù).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

學習了勾股定理的逆定理,我們知道:在一個三角形中,如果兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形為直角三角形.類似地,我們定義:對于任意的三角形,設其三個角的度數(shù)分別為x°、y°和z°,若滿足x2+y2=z2,則稱這個三角形為勾股三角形.
(1)根據(jù)“勾股三角形”的定義,請你直接判斷命題:“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題?
(2)已知某一勾股三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)從小到大依次為x°、y°和z°,且xy=2160,求x+y的值;
(3)如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=
6
,AC=1+
3
,BC=2,⊙O的直徑BE交AC于點D.
①求證:△ABC是勾股三角形;
②求DE的長.

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科目:初中數(shù)學 來源:2012-2013學年浙江溫州市育英學校八年級第二學期開學考試數(shù)學試卷(帶解析) 題型:解答題

定義:對于任意的三角形,設其三個內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°和z°,若滿足,則稱這個三角形為勾股三角形.
(1)已知某一勾股三角形的三個內(nèi)角度數(shù)從小到大依次為x°、y°和z°,且xy=2160,求x+y的值;
(2)如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB=,AC=,BC=2,BE是⊙O的直徑,交AC于D.         
 
①求證:△ABC是勾股三角形;
②求DE的長.

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科目:初中數(shù)學 來源:2007年北京市東城區(qū)中考數(shù)學一模試卷(解析版) 題型:解答題

我們給出如下定義:如果一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍,我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c.
(1)若∠A=2∠B,且∠A=60°,求證:a2=b(b+c).
(2)如果對于任意的倍角三角形ABC(如圖),其中∠A=2∠B,關系式a2=b(b+c)是否仍然成立?請證明你的結論;
(3)試求出一個倍角三角形的三條邊的長,使這三條邊長恰為三個連續(xù)的正整數(shù).

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