Question

如圖，BC∥AM，∠A=90°，∠BCD=75°，點E在AB上，△CDE為等邊三角形，BM交 CD于F，下列結(jié)論：①∠ADE=45°，②AB=BC，③EF⊥CD，④若∠AMB=30°，則CF=DF．其中正確的有（　�。�

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：由BC∥AM得∠CDA=105°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠CDE=60°，則∠EDA=105°-60°=45°；過C作CG⊥AM，則四邊形ABCG為矩形，于是∠DCG=90°-∠BCD=15°，而∠BCE=75°-60°=15°，易證得Rt△CBE≌Rt△CGD，則BC=CG，得到AB=BC；由于AG=BC，而AG≠MD，則CF：FD=BC：MD≠1，不能得到F點是CD的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)則不能得到
EF⊥CD；若∠AMB=30°，則∠CBF=30°，在Rt△AMB中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BM=2AB，則BM=2BC，
易得∠BFC=75°，所以BF=BC，得MF=BF，由CB∥AM得CF：FD=BF：MF=1，即可有CF=DF．

解答：解：∵BC∥AM，
∴∠BCD+∠CDA=180°，
∵∠BCD=75°，
∴∠CDA=105°，
∵△CDE為等邊三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠EDA=105°-60°=45°，所以①正確；
過C作CG⊥AM，如圖，
∵∠A=90°，
∴四邊形ABCG為矩形，
∴∠DCG=90°-∠BCD=15°，
而△CDE為等邊三角形，
∴∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠BCE=75°-60°=15°，
∴Rt△CBE≌Rt△CGD，
∴BC=CG，
∴AB=BC，所以②正確；
∵AG=BC，而AG≠MD，
∴CF：FD=BC：MD≠1，
∴F點不是CD的中點，
∴EF不垂直CD，所以③錯誤；
若∠AMB=30°，則∠CBF=30°，
∴在Rt△AMB中，BM=2AB，
∴BM=2BC，
∵∠BCD=75°，
∴∠BFC=180°-30°-75°=75°，
∴BF=BC，
∴MF=BF，
而CB∥AM，
∴CF：FD=BF：MF=1，
∴CF=FD，所以④正確．
故選B．

點評：本題考查了直角梯形的性質(zhì)：有一組對邊平行，另一組對邊不平行，且有一個直角．也考查了矩形和等邊三角形的性質(zhì)、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及相似三角形的判定與性質(zhì)．