Question

(本小題滿分9分)

已知：△ABC是任意三角形．

⑴如圖1所示，點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點．求證：∠MPN=∠A．

⑵如圖2所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且，，點P1、P2是邊BC的三等分點，你認(rèn)為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確？請說明你的理由．

⑶如圖3所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且，，點P1、P2、……、P2009是邊BC的2010等分點，則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．

（請直接將該小問的答案寫在橫線上．）

 

Answer 1

 

（1）略

（2）正確

（3）∠A

解析:⑴證明：∵點M、P、N分別是AB、BC、CA的中點，

        ∴線段MP、PN是△ABC的中位線，

∴MP∥AN，PN∥AM，  1分

        ∴四邊形AMPN是平行四邊形，    2分

         ∴∠MPN=∠A.      3分

⑵∠MP1N+∠MP2N=∠A正確.   4分

如圖所示，連接MN，      5分

∵，∠A=∠A，

∴△AMN∽△ABC，

∴∠AMN=∠B，，

∴MN∥BC，MN=BC，     6分

∵點P1、P2是邊BC的三等分點，

∴MN與BP1平行且相等，MN與P1P2平行且相等，MN與P2C平行且相等，

∴四邊形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四邊形，

∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，

    7分

∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，

∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A.

    8分

⑶∠A.      9分