Question

（本小題滿分14分）
已知：如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，）， 與x軸交于點(diǎn)A、 B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥BC，交AC于點(diǎn)D，連接CP．當(dāng)△CPD的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點(diǎn)Q，與直線BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（，0）．問：是否存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形？若存  在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）
（2）
（3）或解析:
（1）由題意，得
解得.……2分
∴所求拋物線的解析式為：．.……3分
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，過點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G．
∴由，得．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，0）．.……4分
∴AB=6，BP=2-x．
∵點(diǎn)P在線段AB上，
∴．.……5分
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ABC
∴   
即，∴．
∴

.……8分
又，
∴當(dāng)時，有最大值3，此時P．.……9分
（3）存在．
在△OMF中．
①若MO=MF，∵B（-4，0），M（-2，0），故BM=OM=MF=2．
又在Rt△BOC中，OB=OC=4，∴∠OBC=45°．∴∠MFB=∠OBC=45°．
∴∠BMF=90°．此時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，-2）．
由，得．
此時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．.……11分
②若OF=MF，過點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E，
由等腰三角形的性質(zhì)得：，∴BE=3，
∴在等腰直角△BEF中，EF=BE=3．∴F（-1，-3）．
由，得．
此時，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．.……13分
③若OM=OF，∵OB=OC=4，且∠BOC=90°，∴，
∴點(diǎn)O到BC的距離為，而OF=OM=2<，
此時，不存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形．.……14分
綜上所述，存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形．所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：
或．