Question

在平面直角坐標(biāo)系中，圖①和圖②中的各三角形頂點(diǎn)均在網(wǎng)格圖的格點(diǎn)上，根據(jù)所給信息解答下列問題：
（1）動手操作，探究結(jié)論：在圖①中，△ABO的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（2，4）、B（4，0）、O（0，0），將△ABO的三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上2，縱坐標(biāo)不變，分別得到點(diǎn)A’、B’、O’，依次連接A’、B’、O’各點(diǎn)，畫出△A’B’O’，并說明△A’B’O’與△ABO在大小、形狀、位置上有什么關(guān)系？
（2）仔細(xì)觀察，探究規(guī)律：在圖②中，第一次將△OAB變換成△OA₁B₁，第二次將△OA₁B₁變換成△OA₂B₂，第三次將△OA₂B₂變換成△OA₃B₃，已知A（1，4），A₁（2，4），A₂（4，4），A₃（8，4），B（2，0），B₁（4，0）B₂（8，0），B₃（16，0）…
①按此圖形變化規(guī)律，寫出△OA₄B₄的頂點(diǎn)坐標(biāo)A₄______，B₄______；
②通過計(jì)算得出△OA₄B₄的面積是△OAB面積的______倍；
③通過上述變化規(guī)律，請你猜想出△OA_nB_n的面積是△OAB面積的多少倍？

Answer 1

解：（1）如圖，△A′B′O′與△ABO的形狀，大小完全相同，△A′B′O′可以看作將△ABO向右平移2個(gè)單位得到的；

（2）①8×2=16，16×2=32，
∴A₄（16，4）、B₄（32，0），
②∵△OA₄B₄與△OAB的高都是4，OB₄=16×2=32，OB=2，
∴S_△OA4B4=×32×4=64，
S_△OAB=×2×4=4，
64÷4=16，
∴△OA₄B₄的面積是△OAB面積的16倍；
③根據(jù)規(guī)律，后一個(gè)三角形的底邊是前一個(gè)三角形底邊的2倍，高相等都是4，
∴OB_n=2ⁿ⁺¹，
S_△OAnBn=×2ⁿ⁺¹×4=2ⁿ⁺²，
S_△OAB=×2×4=4，
2ⁿ⁺²÷4=2ⁿ，
∴△OAnBn的面積是△OAB面積的2ⁿ倍．
分析：（1）把點(diǎn)A、B、C向右移動兩個(gè)單位，分別找出點(diǎn)A′、B′、O′的位置，然后順次連接即可得到△A′B′O′，然后根據(jù)平移的性質(zhì)解答；
（2）①根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)，把點(diǎn)A₃與點(diǎn)B₃的橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍，縱坐標(biāo)不變解答；
②根據(jù)三角形的面積公式分別計(jì)算出△OA₄B₄的面積與△OAB的面積，然后相除即可求出倍數(shù)；
③根據(jù)三角形的底邊后一個(gè)是前一個(gè)三角形的底邊的2倍，先求出△OA_nB_n的底邊OB_n的長度，高都是4不變，然后利用三角形的面積公式分別計(jì)算出兩三角形的面積，相除即可得到倍數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查了坐標(biāo)變換的平移變換以及圖形規(guī)律的探尋，（2）中發(fā)現(xiàn)三角形的高都是4不變，底邊成2倍擴(kuò)大的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．