Question

如圖，拋物線y=-

1

3

x²+

4

3

x+1與y軸交于點(diǎn)A，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)B，連AB，點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)Q在拋物線上，是否存在點(diǎn)P和Q，使四邊形ABPQ為矩形？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：先令x=0，求出y的值得到AO的長(zhǎng)度，根據(jù)對(duì)稱軸解析式求出OB的長(zhǎng)度，根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角可得∠ABP=90°，然后求出∠BAO=∠PBO，從而得到△AOB和△BOP相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出OP的長(zhǎng)度，再根據(jù)矩形的對(duì)稱性求出矩形的中心C的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征把點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答：解：存在點(diǎn)P（0，-4），Q（-2，-3），使四邊形ABPQ為矩形．
理由如下：令x=0，則y=1，
∴AO=1，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=-

4 3

2×(- 1 3 )

=2，
∴OB=2，
∵四邊形ABPQ為矩形，
∴∠ABO+∠PBO=∠ABP=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠PBO，
又∵∠AOB=∠BOP=90°，
∴△AOB∽△BOP，
∴

AO

OB

=

OB

OP

，
即

1

2

=

2

OP

，
解得OP=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-4），
∴AP的中點(diǎn)，即矩形的中心C的坐標(biāo)是（0，-1.5），
設(shè)點(diǎn)Q（x，y），則

x+2

2

=0，

y+0

2

=-1.5，
解得x=-2，y=-3，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，-3），
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-

1

3

×（-2）²+

4

3

×（-2）+1=-

4

3

-

8

3

+1=-4+1=-3，
∴點(diǎn)Q在拋物線y=-

1

3

x²+

4

3

x+1上，
故存在點(diǎn)P（0，-4），Q（-2，-3），使四邊形ABPQ為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)求出以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用中心對(duì)稱求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．