【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c的開口向上,且經(jīng)過點A(0, ).
(1)若此拋物線經(jīng)過點B(2,-),且與軸相交于點E、F.
①填空:b= (用含a的代數(shù)式表示);
②當EF的值最小時,求出EF的最小值和拋物線的解析式;
(2)若,當,拋物線上的點到x軸距離的最大值為3時,求b的值.
【答案】(1)①b=-2a-1;②EF有最小值,拋物線解析式為y=x2﹣3x+;(2)b的值為1或﹣5.
【解析】試題分析:(1)①由A點坐標可求得c,再把B點坐標代入可求得b與a的關(guān)系式,可求得答案;②用a可表示出拋物線解析式,令y=0可得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系可用a表示出EF的值,再利用函數(shù)性質(zhì)可求得其取得最小值時a的值,可求得拋物線解析式;
(2)可用b表示出拋物線解析式,可求得其對稱軸為x=-b,由題意可得出當x=0、x=1或x=-b時,拋物線上的點可能離x軸最遠,可分別求得其函數(shù)值,得到關(guān)于b的方程,可求得b的值.
試題解析:(1)①∵拋物線y=ax2+bx+c的開口向上,且經(jīng)過點A(0, ),
∴c=,
∵拋物線經(jīng)過點B(2,-),
∴-=4a+2b+,
∴b=-2a-1,
故答案為:-2a-1;
②由①可得拋物線解析式為y=ax2-(2a+1)x+,
令y=0可得ax2-(2a+1)x+=0,
∵△=(2a+1)2-4a×=4a2-2a+1=4(a-)2+>0,
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,設(shè)為x1、x2,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴EF2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2==(-1)2+3,
∴當a=1時,EF2有最小值,即EF有最小值,
∴拋物線解析式為y=x2-3x+;
(2)當a=時,拋物線解析式為y=x2+bx+,
∴拋物線對稱軸為x=-b,
∴只有當x=0、x=1或x=-b時,拋物線上的點才有可能離x軸最遠,
當x=0時,y=,當x=1時,y=+b+=2+b,當x=-b時,y=(-b)2+b(-b)+=-b2+,
①當|2+b|=3時,b=1或b=-5,且頂點不在范圍內(nèi),滿足條件;
②當|-b2+|=3時,b=±3,對稱軸為直線x=±3,不在范圍內(nèi),故不符合題意,
綜上可知b的值為1或-5.
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【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,D是弧AB上一點,C是弧AD的中點,過點C作AB的垂線,交AB
于E,與過點D的切線交于點G,連接AD,分別交CE、CB于點P、Q,連接AC,關(guān)于下列結(jié)論:①
∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點P是△ACQ的外心.其中正確結(jié)論是_______(填序號).
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【題目】請閱讀如下材料.
如圖,已知正方形ABCD的對角線AC、BD于點O,E是AC上一點,AG⊥BE,垂足為G.求證:OE=OF.
證明:∵四邊形ABCD是正方形.
∴∠BOE=∠AOF=90°,且OA=OE.
又∵AG⊥BE,∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3,即∠1=∠2.
∴Rt△BOE≌Rt△AOF,∴OE=OF.
⑴根據(jù)你的理解,上述證明思路的核心是利用 使問題得以解決,而證明過程中的關(guān)鍵是證出 .
⑵若上述命題改為:點E在AC的延長線上,AG⊥BE交EB的延長線于點G,延長AG交DB的延長線于點F,如圖,其他條件不變.
求證:OF=OE.
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【題目】為了鼓勵居民節(jié)約用水,某自來水公司采取分段計費,每月每戶用水不超過10噸,每噸2.2元;超過10噸的部分,每噸加收1.3元.小明家4月份用水15噸,應(yīng)交水費元.
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【題目】已知拋物線,其中.(1)直接寫出關(guān)于的一元二次方程的兩個根;
(2)試判斷:拋物線的頂點在第幾象限內(nèi);
(3)過點A的直線y=x+m與拋物線相交于另一點B,拋物線的對稱軸與x軸相交于C.試問:在拋物線上是否存在一點D,使?若存在,求拋物線的表達式,若不存在,說明理由。
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【題目】在有理數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“★”,規(guī)定:a★b=ab+a﹣b,如2★3=2×3+2﹣3=5,則(﹣2)★(﹣3)= .
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與y軸交于點C,點B在拋物線上,且與點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點A(﹣2,0)及點B.
(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,寫出滿足≤kx+b的x的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度數(shù)之比為2:3:4,則∠B的度數(shù)為( )
A.120°
B.80°
C.60°
D.40°
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