Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（4m+1）x+3m²+m=0．
（1）求證：無論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，原方程總有兩個實(shí)數(shù)根；
（2）若原方程的兩個實(shí)數(shù)根一個大于2，另一個小于7，求m的取值范圍；
（3）拋物線y=x²-（4m+1）x+3m²+m與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)m取（2）中符合題意的最小整數(shù)時(shí)，將此拋物線向上平移n個單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求n的取值范圍（直接寫出答案即可）．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：代數(shù)幾何綜合題,判別式法

分析：（1）先計(jì)算判別式的值得到△=（2m+1）²≥0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）利用公式法科得到x₁=3m+1，x₂=m，然后根據(jù)原方程的兩個實(shí)數(shù)根一個大于2，另一個小于7列不等式組，然后解不等式組得到m的取值范圍；
（3）先確定m=1，再把拋物線配成頂點(diǎn)式得y=x-

5

2

）²-

9

4

，然后確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），直線BC的解析式為y=-x+4，由于拋物線的對稱軸為直線x=

5

2

，則求出直線x=

5

2

與x軸的交點(diǎn)和與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到n的范圍．

解答：（1）證明：△=[-（4m+1）]²-4（3m²+m）
=4m²+4m+1
=（2m+1）²
∵（2m+1）²≥0，
∴無論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，原方程總有兩個實(shí)數(shù)根；
（2）解：解方程x²-（4m+1）x+3m²+m=0得 x₁=3m+1，x₂=m，
由題意得  

3m+1＞2 m＜7.

或

3m+1＞7 m＜2.

，
解得 

1

3

＜m＜7；
（3）解：m=1，拋物線為y=x²-5x+4=（x-

5

2

）²-

9

4

，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
直線BC的解析式為y=-x+4，
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y=-x+4=

3

2

，
所以此拋物線向上平移

9

4

或（

9

4

+

3

2

）個單位，使平移后得到的拋物線頂點(diǎn)落在邊AB或BC上，
所以符合題意的n的取值范圍是 

9

4

＜n＜

15

4

．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．