Question

（2012•茂名）閱讀下面材料，然后解答問題：
在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為端點的線段的中點坐標為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．如圖，在平面直角坐標系xOy中，雙曲線y=

-3

x

（x＜0）和y=

k

x

（x＞0）的圖象關于y軸對稱，直線y=

1

2

x+

5

2

與兩個圖象分別交于A（a，1），B（1，b）兩點，點C為線段AB的中點，連接OC、OB．
（1）求a、b、k的值及點C的坐標；
（2）若在坐標平面上有一點D，使得以O、C、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y=

-3

x

和y=

1

2

x+

5

2

可以得到方程組，解方程組即可算出a、b的值，繼而得到A、B兩點的坐標，再把B點坐標代入雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，即可算出k值，再根據(jù)中點坐標公式算出C點坐標；
（2）此題分三個情況：①四邊形OCDB是平行四邊形，②四邊形OCBD是平行四邊形，③四邊形BODC是平行四邊形．根據(jù)點的平移規(guī)律可得到D點坐標．

解答：解：（1）依題意得

1= -3 a b= 1 2 ×1+ 5 2

，
解得

a=-3 b=3

，
∴A（-3，1），B（1，3），
∵點B在雙曲線y=

k

x

（x＞0）上，
∴k=1×3=3，
∵點C為線段AB的中點，
∴點C坐標為（

-3+1

2

，

1+3

2

），即為（-1，2）；

（2）將線段OC平移，使點O（0，0）移到點B（1，3），則點C（-1，2）移到點D（0，5），此時四邊形OCDB是平行四邊形；
將線段OC平移，使點C（-1，2）移到點B（1，3），則點O（0，0）移到點D（2，1），此時四邊形OCBD是平行四邊形；
線段BO平移，使點B（1，3）移到點C（-1，2），則點O（0，0）移到點D（-2，-1），此時四邊形BODC是平行四邊形．
綜上所述，符合條件的點D坐標為（0，5）或（2，1）或（-2，-1）．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應用，關鍵是掌握凡是圖象經過的點必能滿足解析式．