Question

（自編題）某品牌專賣店準(zhǔn)備采購數(shù)量相同的男女情侶襯衫，并以相同的銷售價x（元）進(jìn)行銷售，男襯衫的進(jìn)價為30元，當(dāng)定價為50元時，月銷售量為120件，售價不超過100元時，價格每上漲1元，銷量減少1件；售價超過100元時，超過100元的部分，每上漲1元，銷量減少2件．受投放量限制襯衫公司要求該專賣店每種襯衫每月訂購件數(shù)不得低于30件且不得超過120件．該品牌專賣店銷售男襯衫利潤為y₁ （元），銷售女襯衫的月利潤為y₂（元），且y₂與x間的函數(shù)關(guān)系式為y2=

20x-800(50≤x≤80) -10x+1600(80＜x≤120)

，銷售這兩種襯衫的月利潤W（元）是y₁與y₂的和．
（1）求自變量x取值范圍
（2）求y₁與x間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求出W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（4）該專賣店經(jīng)理應(yīng)該如何采購，如何定價，才能使每月獲得的總收益W最大？說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知銷售價x（元）與銷量之間的關(guān)系得出x的取值范圍；
（2）根據(jù)x的取值范圍得出利潤與單價以及銷量之間的關(guān)系式；
（3）根據(jù)y₁與y₂的函數(shù)關(guān)系式，得出y₁+y₂=w，求出即可；
（4）根據(jù)自變量的取值范圍，分別求出二次函數(shù)最值即可．

解答：解：（1）由題意知120-（x-50）≤120，
得：x≥50，
而當(dāng)x=100時，120-（x-50）=70，
再由70-2（x-100）≥30，
得：x≤120，
故自變量取值范圍為50≤x≤120．

（2）y1=

(x-30)[120-(x-50)]=-x2+200x-5100(50≤x≤100) (x-30)[(70-2(x-100)]=-2x2+330x-8100(100＜x≤120)

；


（3）W=y1+y2=

(-x2+200x-5100)+(20x-800)=-x2+220x-5900(50≤x≤80) (-x2+200x-5100)+(-10x+1600)=-x2+190x-3500(80＜x≤100) (-2x+330x-8100)+(-10x+1600)=-2x2+320x-6500(100＜x≤120)

；

（4）配方得：W=

-(x-110)2+6200(50≤x≤80) -(x-95)2+5525(80＜x≤100) -2(x-80)2+6300(100＜x≤120)

，
當(dāng)50≤x≤80時，W隨x增大而增大，所以x=80時，W_最大=5300；
當(dāng)80＜x＜100時，x=95，W_最大=5525；
當(dāng)100＜x＜120時，W隨x增大而減小，而x=100時，W=5500；
綜上所述，當(dāng)x=95時，W最大且W_最大=5525，
故專賣店經(jīng)理應(yīng)該將兩種襯衫定價為95元，進(jìn)貨數(shù)量確定為120-（95-50）=75件時，專賣店月獲利最大且為5525元．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值求法，根據(jù)自變量取值范圍得出二次函數(shù)解析式進(jìn)而求出二次函數(shù)最值問題是初中階段重點題型．