Question

如圖，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A，B兩點，P為AB的中點，PC⊥x軸于點C，延長PC交反比例函數(shù)（x＜0）的圖象于點Q，且tan∠AOQ=．
（1）A點坐標為______，B點坐標為______；
（2）求反比例函數(shù)的表達式；
（3）連接OP、AQ，求證：四邊形APOQ是菱形．

Answer 1

（1）解：對于y=-x-2，令y=0，則-x-2=0，解得x=-4，∴A點坐標為（-4，0）；
令x=0，則y=-2，所以B點坐標為（0，-2）；
故答案為（-4，0）；（0，-2）；

（2）解：∵P為AB的中點，PC⊥x軸，
∴C為OA的中點，即OC=OA=2，
∴C點坐標為（-2，0），
又∵tan∠AOQ=，
∴=，
∴QC=1，
∴Q點的坐標為（-2，1），
把Q（-2，1）代入y=得k=-2，
∴反比例函數(shù)的表達式為y=-；

（3）證明：∵C點坐標為（-2，0），
把x=-2代入y=-x-2得y=-1，
∴P點坐標為（-2，-1），
而Q點的坐標為（-2，1），
∴點Q與點P關于x軸對稱，
∴CQ=CP，
又∵OC=AC，OA⊥PQ，
∴四邊形APOQ是菱形．
分析：（1）根據(jù)坐標軸上點的坐標易得A點坐標為（-4，0）；B點坐標為（0，-2）；
（2）由P為AB的中點，PC⊥x軸，易得OC=OA=2和C點坐標為（-2，0），再根據(jù)正切的定義得到=，則QC=1，可確定Q點的坐標為（-2，1），然后把Q（-2，1）代入y=即可求出k的值；
（3）先確定P點坐標（-2，-1），則點Q與點P關于x軸對稱，即CQ=CP，又∵OC=AC，OA⊥PQ，根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形為菱形即可得到結論．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：先根據(jù)幾何條件確定某些點的坐標，然后利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式，再運用反比例函數(shù)的性質解決問題．也考查了菱形的判定．