Question

【題目】定義：如果一個三角形中有兩個內角α，β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．

（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，則∠A＝　 度；

（2）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分線，

①求證：△BDC是“近直角三角形”；

②在邊AC上是否存在點E（異于點D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D為AC邊上一點，以BD為直徑的圓交BC于點E，連結AE交BD于點F，若△BCD為“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．

Answer 1

【答案】（1）20；（2）①見解析；②存在，CE＝；（3）tan∠C的值為或．

【解析】

（1）∠B不可能是α或β，當∠A＝α時，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝20°；

（2）①如圖1，設∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；

②∠ABE＝∠C，則△ABC∽△AEB，即,即，解得：AE=，即可求解.

（3）①如圖2所示，當∠ABD＝∠DBC＝β時，設BH＝x，則HE＝5﹣x，則AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝，即可求解；

②如圖3所示，當∠ABD＝∠C＝β時，AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，則DE＝2k，則AG＝3k＝R（圓的半徑）＝BG，點H是BE的中點，則GH＝DE＝k，在△BGH中，BH＝＝2k，在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝，即可求解.

解：（1）∠B不可能是α或β，

當∠A＝α時，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；

故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝20°，

故答案為20；

（2）①如圖1，設∠＝ABD∠DBC＝β，∠C＝α，

則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；

②存在，理由：

在邊AC上是否存在點E（異于點D），使得△BCE是“近直角三角形”，

AB＝3，AC＝4，則BC＝5，

則∠ABE＝∠C，則△ABC∽△AEB，

即，即，解得：AE＝，

則CE＝4﹣＝；

（3）①如圖2所示，當∠ABD＝∠DBC＝β時，

則AE⊥BF，則AF＝FE＝3，則AE＝6，

AB＝BE＝5，

過點A作AH⊥BC于點H，

設BH＝x，則HE＝5﹣x，

則AH2＝AE2﹣HE2＝AB2﹣HB2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝；

cos∠ABE＝＝＝cos2β，則tan2β＝，

則tanα＝；

②如圖3所示，當∠ABD＝∠C＝β時，

過點A作AH⊥BE交BE于點H，交BD于點G，則點G是圓的圓心（BE的中垂線與直徑的交點），

∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝α+β＝∠ABC，故AE＝AB＝5，則EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，

∵DE⊥BC，AH⊥BC，

∴ED∥AH，則AF∶EF＝AG∶GE＝2∶3，

則DE＝2k，則AG＝3k＝R（圓的半徑）＝BG，點H是BE的中點，則GH＝DE＝k，

在△BGH中，BH＝＝2k，

在△ABH中，AB＝5，BH＝2k，AH＝AG+HG＝4k，

由勾股定理得：25＝8k2+16k2，解得：k＝；

在△ABD中，AB＝5，BD＝6k＝，

則cos∠ABD＝cosβ＝＝＝cosC，

則tanC＝；

綜上，tan∠C的值為或．