Question

已知△ABC，分別以AB、BC、CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE、等邊三角形ACF．
（1）如圖1，當△ABC是等邊三角形時，請你寫出滿足圖中條件，四個成立的結論；
（2）如圖2，當△ABC中只有∠ACB=60°時，請你證明S_△ABC與S_△ABD的和等于S_△BCE與S_△ACF的和．

Answer 1

（1）DE=EF，DF=EF，∠D=∠E=∠F，A、B、C分別為DF、DE、EF的中點．

（2）證明：過A作AM∥FC交BC于M，連接DM、EM，
∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，
∴∠ACB=∠CAF，
∴AF∥MC，
∴四邊形AMCF是平行四邊形，
又∵FA=FC，
∴四邊形AMCF是菱形，
∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，
∵在△BAC與△EMC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△BAC≌△EMC，
∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM
∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM
∴∠BAC=∠DAM
在△ABC和△ADM中
AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM
∴△ABC≌△ADM（SAS）
故△ABC≌△MEC≌△ADM，
在CB上截取CM，使CM=CA，
再連接AM、DM、EM （輔助線這樣做△AMC就是等邊三角形了，后邊證明更簡便）
易證△AMC為等邊三角形，
在△ABC與△MEC中，
CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
∴△ABC≌△MEC（SAS），
∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，
又∵DB=AB，
∴DB=ME，
∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，
∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，
∴∠DBC=∠BME，
∴DB∥ME，
即得到DB與ME平行且相等，故四邊形DBEM是平行四邊形，
∴四邊形DBEM是平行四邊形，
∴S_△BDM+S_△DAM+S_△MAC=S_△BEM+S_△EMC+S_△ACF，
即S_△ABC+S_△ABD=S_△BCE+S_△ACF．