Question

已知：如圖，小正六邊形的邊長(zhǎng)是1，大正六邊形的邊長(zhǎng)的2，A是小正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，若小正六邊形沿大正六邊形內(nèi)側(cè)滾動(dòng)一周，回到原來的位置，則點(diǎn)A的行程為

 

（結(jié)果保留π）．

Answer 1

分析：首先畫出點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的大致路線，確定不同運(yùn)動(dòng)過程中，A點(diǎn)所走過的弧所在圓的圓心和半徑，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出它們的值，再相加即可．

解答：解：如右圖；
當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到A′時(shí)，A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為以B為圓心，AB為半徑，∠ABA′為圓心角的弧長(zhǎng)；
即C₁=

60×π×1

180

=

π

3

；
當(dāng)點(diǎn)A′運(yùn)動(dòng)到A″時(shí)，A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為以C為圓心，CA′為半徑，∠A′CA″為圓心角的弧長(zhǎng)；
易求得CA′=2，∠A′CA″=60°，
則C₂=

60×π×2

180

=

2π

3

；
當(dāng)點(diǎn)A″運(yùn)動(dòng)到A'''時(shí)，A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為以D為圓心，DA'''為半徑，∠A″DA'''為圓心角的弧長(zhǎng)，
同上可求得C₃=C₁=

π

3

；
故從A到A'''，一共運(yùn)動(dòng)的距離為：C₁+C₂+C₃=

4π

3

；
當(dāng)從點(diǎn)A'''到A時(shí)，A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律同上，故A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的距離為：

8π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，找出A點(diǎn)不同運(yùn)動(dòng)過程的圓心和半徑是解題的關(guān)鍵．