Question

感知：如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，將點E繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到點F，易知△CEB≌△CFB．
探究：如圖2，在圖1中的基礎(chǔ)上作∠ECF的角平分線CG，交AD于點G，連接EG，求證：EG=BE+GD．
應(yīng)用：如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC．E是AB上一點，且∠DCE=45°，AD=6，DE=10，求直角梯形ABCD的面積．

Answer 1

探究：證明：∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△EBC≌△FDC，
∴CE=CF，DF=BE，
∵CG平分∠ECF，
∴∠ECG=∠FCG，
在△ECG和△FCG中

∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴EG=GF，
∵GF=DG+DF=DG+BE，
∴EG=BE+GD；

應(yīng)用：
解：如圖3，過C作CH⊥AD于H，旋轉(zhuǎn)△BCE到△CHM，
則∠A=∠B=∠CHA=90°，
∵AB=BC，
∴四邊形ABCH是正方形，
∵∠DCE=45°，AH=BC，
∴∠DCH+∠ECB=90°-45°=45°，
∵由已知證明知：△EBC≌△MHC，
∴∠ECB=∠MCH，
∴∠DCH+∠MCH=45°，
∴CD平分∠ECM，
∴由探究證明知：DE=BE+DH，
在Rt△AED中，DE=10，AD=6，由勾股定理得：AE=8，
設(shè)BE=x，則BC=AB=x+8=AH，
即x+8=6+10-x，
x=4，
BE=4，
AB=4+8=12，BC=AB=12，
∴梯形ABCD的面積是×（6+12）×12=108．
分析：探究：求出CE=CF，DF=BE，∠ECG=∠FCG，證△ECG≌△FCG，推出EG=GF即可；
應(yīng)用：過C作CH⊥AD于H，旋轉(zhuǎn)△BCE到△CHM，推出四邊形ABCH是正方形，CD平分∠ECM，由探究證明知：DE=BE+DH，
在Rt△AED中，DE=10，AD=6，由勾股定理求出AE=8，設(shè)BE=x，根據(jù)BC=AB=x+8=AH得出x+8=6+10-x，求出x=4即可．
點評：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．