Question

如圖，已知拋物線的頂點A在y軸上，坐標A（0，1）矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點B（0，2），S_矩形CDEF=8
（1）求此拋物線的解析式；
（2）過B作直線MN，與拋物線交于點M、N，過M、N分別向x軸作垂線MR、NQ，分別交x軸于R、Q，求證：MR=MB；
（3）在線段QR上是否存在一個點P，使得以點P、R、M為頂點的三角形和以P、N、Q為頂點的三角形相似？若存在．請說明理由，并找出P的位置；若不存在，也請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點B（0，2），S_矩形CDEF=8，
∴EF×DE=8，
∴DE=4，∴F點坐標為：（2，2），
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+c，其過點A（0，1）和F（2，2），
所以，，
解得：，
所以，此函數(shù)解析式為y=x²+1；


（2）如圖1，過點B作BT⊥MR于T，
∵M點在拋物線y=x²+1上，可設(shè)點M（a，a²+1），
∴MR=a²+1，OB=RT=2，BT=a，
∴MT=MR-TR=a²+1-2=a²-1，
在Rt△BMT中，MB²=BT²+MT²=（a²-1）²+a²=（a²+1）²，
∴BM=a²+1，
∵MR=a²+1，
∴MB=MR；

（3）如圖2，若以點P、R、M為頂點的三角形和以P、N、Q為頂點的三角形相似，
∵∠PRM=∠PQN=90°，
∴分△PQN∽△MRP和△PQN∽△PRM兩種情況，
當△PQN∽△MRP時，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，
根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，∠NPQ+∠RPM=90°，
∴∠NPM=90°，
取MN的中點W，連接WP，則WP=MN=（NQ+MR），
∴WP為梯形NQRM的中位線，
∴P為QR的中點；
當△PQN∽△PRM時，
∵=，
∵MB=MR，同理可得出：NB=NQ，
∴==，
又∵=，
∴點P與點O重合，
綜上所述，點P為QR的中點時，△PQN∽△MRP；點P為原點時△PQN∽△PRM．
分析：（1）設(shè)拋物線的頂點式形式為y=ax²+c，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）過點B作BT⊥MR于T，根據(jù)點M在拋物線上設(shè)點P的坐標為（a，a²+1），然后表示出MT、BT、BM，再根據(jù)圖形求出MT=MR-RT，在Rt△BTM中，利用勾股定理列式表示出MB²，從而得證；
（3）根據(jù)∠PRM=∠PQN=90°，分△PQN∽△MRP時，根據(jù)相似三角形對應角相等可得，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，再根直角三角形的性質(zhì)求出∠NPM=90°，取MN的中點為W，連接WP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半表示出WP=MN=（NQ+MR），從而判定WP為梯形NQRM的中位線，得到點P為QR的中點△PQN∽△PRM時，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得==，再根據(jù)=，可得點P與原點O重合．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合題中二次函數(shù)的對稱性、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、勾股定理的應用以及相似三角形對應邊成比例的性質(zhì)等知識，綜合性較強，難度較大，求點P的位置時要注意根據(jù)相似三角形對應邊的不同分情況進行討論．