Question

（1999•海淀區(qū)）已知關(guān)于x的方程kx²+（2k-1）x+k-1=0（1）只有整數(shù)根，且關(guān)于y的一元二次方程（k-1）y²-3y+m=0（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根y₁和y₂
（1）當(dāng)k為整數(shù)時(shí)，確定k的值；
（2）在（1）的條件下，若m＞-2，用關(guān)于m的代數(shù)式表示y₁²+y₂²．

Answer 1

【答案】分析：（1）要分兩種情況討論：
①k=0時(shí)，（1）方程為一元一次方程，可計(jì)算出此時(shí)方程的根是否為整數(shù)，若是，則k=0符合要求；
②k≠0時(shí)，（1）方程為一元二次方程，用因式分解法求出該方程的兩個(gè)根，再根據(jù)這個(gè)方程只有整數(shù)根的特點(diǎn)，求出k的整數(shù)值，再根據(jù)的判別式將不合題意的k值舍去．
（2）將（1）得出的k值代入方程（2）中，首先根據(jù)根的判別式判斷出m的范圍，然后用根與系數(shù)的關(guān)系表示出所求的代數(shù)式的值．
解答：解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，方程（1）化為-x-1=0，x=-1，方程有整數(shù)根（1分）
當(dāng)k≠0時(shí)，方程（1）可化為（x+1）（kx+k-1）=0
解得x₁=-1，x₂==-1+；
∵方程（1）的根是整數(shù)，所以k為整數(shù)的倒數(shù)．
∵k是整數(shù)
∴k=±1
此時(shí)△=（2k-1）²-4k（k-1）=1＞0（3分）
但當(dāng)k=1時(shí)，（k-1）y²-3y+m=0不是一元二次方程
∴k=1舍去
∴k=0，k=-1；（14分）

（2）當(dāng)k=0時(shí)，方程（2）化為-y²-3y+m=0
∵方程（2）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴△=9+4m≥0，即m≥-，又m＞-2
∴當(dāng)m＞-2時(shí)，y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=9+2m；（6分）
當(dāng)k=-1時(shí)，方程（2）化為-2y²-3y+m=0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
∴△=9+8m≥0，即m≥-
∵m＞-2，
∴當(dāng)-2＜m＜-時(shí)，方程（2）無實(shí)數(shù)根
當(dāng)m≥-時(shí)，有y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=+m．（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式；需注意的是（1）題不要忽略了（1）方程為一元一次方程的情況．