Question

【題目】如圖，在等邊△BCD中，DF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)A為直線DF上一動(dòng)點(diǎn)，以B為旋轉(zhuǎn)中心，把BA順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至BE，連接EC．

(1)當(dāng)點(diǎn)A在線段DF的延長(zhǎng)線上時(shí)，

①求證：DA=CE；

②判斷∠DEC和∠EDC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)當(dāng)∠DEC=45°時(shí)，連接AC，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析②∠DEC+∠EDC=90°；（2）150°或30°

【解析】

試題①證明△BAD≌△BEC，即可證明.

②分別求出和的度數(shù)，即可求出∠DEC和∠EDC的數(shù)量關(guān)系.

分三種情況進(jìn)行討論.

試題解析：

（1）①證明：∵把BA順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°至BE，

∴60°，

在等邊△BCD中，

，

，

，

，

∴△BAD≌△BEC，

∴DA=CE；

②判斷：∠DEC+∠EDC=90°．

，，，

∵△BAD≌△BEC，

∴∠BCE=∠BDA=30°，

在等邊△BCD中，∠BCD=60°，

∴∠DCE=∠BCE+∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠EDC=90°．

（2）分三種情況考慮：

①當(dāng)點(diǎn)A在線段DF的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖1），

由（1）可得， 是直角三角形，，

當(dāng)時(shí)，

，

，，

由（1）得DA=CE，∴CD=DA，在等邊中，，

，

，，

，

在中，，，

在中，，，

．

②當(dāng)點(diǎn)A在線段DF上時(shí)（如圖2），

以B為旋轉(zhuǎn)中心，把BA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BE.

，

在等邊中，，

，

，

，

≌，

，

在 ，

＜，

∵DA＜DF，DA=CE，

∴CE＜DC，

由②可知為直角三角形，

∴∠DEC≠45°．

③當(dāng)點(diǎn)A在線段FD的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖3），

同第②種情況可得≌，

，

在等邊中，，

，

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，

，

，

，

∴AD=CD=BD，

∵，

，，

，

綜上所述，的度數(shù)是或