Question

【題目】已知，點(diǎn)A、B、O在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a、b、0，且滿足|a+8|+（b﹣12）2＝0，點(diǎn)M、N分別從O、B出發(fā)，同時(shí)向左勻速運(yùn)動(dòng)，M的速度為1個(gè)單位長度每秒，N的速度為3個(gè)單位長度每秒，A、B之間的距離定義為：AB＝|a﹣b|．

（1）直接寫出OA＝　 　．OB＝　 　；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，恰好有AN＝2AM；

（3）若點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)，Q為線段BN的中點(diǎn)，M、N在運(yùn)動(dòng)的過程中，PQ+MN的長度是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)說明理由，若變化，當(dāng)t為何值時(shí)，PQ+MN有最小值？最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）8，12；（2）t＝4或者t＝；（3）當(dāng)t＝6時(shí)，PQ+MN最小值為10．

【解析】

（1）根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性即可得出a+8＝0，b﹣12＝0，從而求出線段OA、OB的長；

（2）題干給出了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離的表示方式，因此要求出t的值，只需要表示出AN＝2AM，則將方程接出即可；

（3）首先根據(jù)中點(diǎn)公式表示出P、Q兩點(diǎn)，然后表示出PQ+MN，再根據(jù)t的范圍去掉絕對(duì)值，最后就可以求出PQ+MN的最小值．

解：（1）∵|a+8|+（b﹣12）2＝0，

∴a+8＝0，b﹣12＝0，

∴a＝﹣8，b＝12，

∵點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為a、b，

∴OA＝8，OB＝12，

故答案為：8，12；

（2）根據(jù)題意得：M點(diǎn)表示的數(shù)為：﹣t，N點(diǎn)表示的數(shù)為：12﹣3t，

則：AM＝|8﹣t|，AN＝|20﹣3t|，

∵AN＝2AM，

∴|20﹣3t|＝2|8﹣t|，

則（20﹣3t）＝±2（8﹣t），

解得：t＝4或者t＝；

（3）∵點(diǎn)P為線段AM的中點(diǎn)，則P點(diǎn)表示的數(shù)為：，

∵Q為線段BN的中點(diǎn)，Q點(diǎn)表示的數(shù)為：，

∴PQ＝＝|t﹣16|，

MN＝|2t﹣12|，

∴PQ+MN＝|t﹣16|+|2t﹣12|，

當(dāng)t≥16時(shí)，原式＝t﹣16+2t﹣12＝3t﹣28；此時(shí)當(dāng)t＝16時(shí)最小值為20，

當(dāng)6≤t≤16時(shí)，原式＝16﹣t+2t﹣12＝t+4；此時(shí)當(dāng)t＝6時(shí)最小值為10，

當(dāng)t≤6時(shí)，原式＝16﹣t+12﹣t＝28﹣3t；此時(shí)當(dāng)t＝6時(shí)最小值為10，

綜上所述當(dāng)t＝6時(shí)，PQ+MN最小值為10．