Question

如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF．求證：．

Answer 1

證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D．
∵BE和CF都是直徑，
∴ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，
∴D，E，F(xiàn)三點共線，
連接AE，AF，則∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD，
∴△ABC∽△AEF，
作AH⊥EF，垂足為H，
又∵AP⊥BC，DF⊥BC，
∴四邊形APDH是矩形，
∴AH=PD，
∵△ABC∽△AEF，
∴，
∴，
∴．
分析：先連接DE、DF，利用直徑所對的圓周角等于90°，可證D、E、F三點共線，再連接AE、AF，利用等腰三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形外角的性質(zhì)可得∠AEF=∠ABC=∠ACB=∠AFD，易證△ABC∽△AEF，再做AH⊥DF，易證四邊形APDH是矩形，于是AH=DP，而△ABC∽△AEF，那么EF：BC=AH：AP，等量代換易證
tan∠PAD=．
點評：本題考查了圓的直徑所對的圓周角等于90°、圓周角定理、矩形的判定、圓內(nèi)接四邊形外角的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、正切的計算、相似三角形高的比等于相似比．主要是作輔助線，證明D、E、F三點共線．