Question

如圖，一次函數(shù)y=

2

3

x+2的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別相交于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，OD是△ACE的中位線．求：
（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）△ABO的面積．

Answer 1

分析：（1）由一次函數(shù)y=

2

3

x+2的圖象與兩坐標(biāo)軸分別相交于C，D兩點(diǎn)，即可求得點(diǎn)C與D的坐標(biāo)，又由OD是△ACE的中位線，即可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，繼而求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，則可求得反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后由S_△ABO=S_△AOD+S_△BOD求得答案．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=

2

3

x+2的圖象與兩坐標(biāo)軸分別相交于C，D兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（-3，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，2），
∴OD=2，
∵OD是△ACE的中位線，
∴AE=4，
即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，
將y=4代入一次函數(shù)y=

2

3

x+2，
即

2

3

x+2=4，
解得：x=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（3，4），
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=

12

x

；

（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，得：

y= 2 3 x+2 y= 12 x

，
解得：

x=3 y=4

或

x=-6 y=-2

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-6，-2），
∴S_△ABO=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×2×3+

1

2

×2×6=9．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系以及三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．