Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點E是AB上一點，CE平分∠DCB，且有AD=AE，CD=CE．
（1）求證：CE=2BE．
（2）若AD=2，DF⊥AD交EC于點F，求DF．

Answer 1

（1）證明：設(shè)∠BCE=∠DCE=x，
則∠AEC=90°+x，
在四邊形ADCE中，內(nèi)角和為360°，
∴90°+2×（90°+x）+x=360°，
解得：x=30°，
在直角三角形BCE中，∠BCE=30°，
故有BE=CE，即CE=2BE．

（2）解：延長DF與BC交于點H，
如圖所示：
設(shè)BE的長為x，
由題意知：BC=x，BH=2，CD=CE=2x，
∴HC=BC-BH=x-2，
在直角三角形DCH中，有HC=CD，
∴（-2）=x，
解得：x=，
在直角三角形CFH中，F(xiàn)H==1+，
故DF=DH-FH=AB-FH=AE+BE-FH=2+．
分析：（1）利用四邊形的內(nèi)角和定理，設(shè)出∠BCE的大小，可求出其大小，繼而證明；
（2）∠BCD=60°，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可求出BE的長，繼而求出NC，F(xiàn)H的長，從而求出DF的長．
點評：本題考查了直角梯形，含30度角的直角三角形及解直角三角形的知識，有一定難度，注意含30度角直角三角形性質(zhì)的靈活運用．