Question

【題目】如圖拋物線y＝x2+bx+c（c＜0）與x軸交于A、B兩點，（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，且OB＝OC＝3，點E為線段BD上的一個動點，EF⊥x軸于F．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點E，使△ECF為直角三角形？若存在，求點E的坐標；不存在，請說明理由；

（3）連接AC、BC，若點P是拋物線上的一個動點，當P運動到什么位置時，∠PCB＝∠ACO，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，(，﹣3)或(3﹣3，6﹣12)；（3）(，﹣)或(4，5)

【解析】

（1）易求得點B，C坐標，即可求得b、c的值，即可解題；

（2）易求得頂點D的坐標，即可求得直線BD的解析式，根據∠CEF＝90°，即可求得點E縱坐標為﹣3，即可解題；

（3）存在2種情況：①∠PCB＝∠ACO，②∠P'CB＝∠ACO，可分別求得tan∠PCE的值，即可求得直線PC斜率，即可求得直線PC于拋物線交點P坐標，即可解題．

解：（1）∵OB＝OC＝3，

∴點B坐標為（3，0），點C坐標為（0，﹣3），

∵拋物線y＝x2+bx+c經過點B，C，∴，

解得：c＝﹣3，b＝﹣2，

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，

∴點D坐標為（1，﹣4），

∵直線BD經過點B，D，設直線BD解析式為y＝kx+b，

則，

解得：k＝2，b＝﹣6，

∴直線BD解析式為y＝2x﹣6，

∵△ECF為直角三角形，

當∠CEF＝90°時，E點縱坐標和等于C點縱坐標，

∴點E縱坐標為﹣3，

∴點E橫坐標為，

∴點E坐標為（，﹣3）；

當∠FCE＝90°時，

∵EF⊥x軸，所以易得△CFO∽FEC，

∴，即EFOC＝CF2，＝OF2+OC2，

設OF＝m，因此F的坐標為（m，0）代入直線BD的方程y＝2x﹣6得E的坐標為（m，2m﹣6），

∴EF＝6﹣2m，

∴（6﹣2m）×3＝m2+9，解得m＝3﹣3（負值舍去），

∴點E的坐標為（3﹣3，6﹣12）

綜上可得存在這樣的點E，E點的坐標為(，﹣3)或(3﹣3，6﹣12)．

（3）存在2種情況：

①∠PCB＝∠ACO，

∵∠BCE＝45°，

∴tan∠BCE＝1，

∵tan∠ACO＝，

∴tan∠PCB＝，

∴tan∠PCE＝tan（∠BCE﹣∠PCB）＝，

∵直線PC經過點P，

∴直線PC解析式為：y＝x﹣3，

∴點P坐標為：(，﹣)，

②∠P'CB＝∠ACO，

∵∠BCE＝45°，

∴tan∠BCE＝1，

∵tan∠ACO＝，

∴tan∠P'CB＝，

∴tan∠P'CE＝tan（∠BCE﹣∠P'CB）＝，

∵直線PC經過點P，

∴直線PC解析式為：y＝2x﹣3，

∴點P坐標為：(4，5)．