Question

如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，D是BC中點(diǎn)，以D為端點(diǎn)，引兩條射線(xiàn)DE、DF分別交AB、AC于E、F點(diǎn)，若DE⊥DF，則EF的最小值為_(kāi)_______．

Answer 1

分析：連接AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DG=DH，再根據(jù)同角的余角相等求出∠EDG=∠FDH，然后利用“角角邊”證明△EDG和△FDH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，從而判定△DEF是等腰直角三角形，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得當(dāng)DE和DG重合時(shí)EF最小，然后求解即可．
解答：解：如圖，連接AD，∵AB=AC，D是BC中點(diǎn)，
∴AD平分∠BAC，
過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，作DH⊥AC于H，
則DG=DH，
又∵∠BAC=90°，
∴∠GDH=90°，
∴∠EDG+∠EFH=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠FDH+∠EFH=90°，
∴∠EDG=∠FDH，
在△EDG和△FDH中，，
∴△EDG≌△FDH（AAS），
∴DE=DF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∵D是BC中點(diǎn)，DG⊥AB，∠BAC=90°，
∴DG是△ABC的一條中位線(xiàn)，
∴DG=AC=×2=1，
根據(jù)垂線(xiàn)段最短，當(dāng)DE和DG重合時(shí)EF最小，此時(shí)EF=DE=×1=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．