Question

【題目】已知，點(diǎn)E、F分別在直線AB，CD上，點(diǎn)P在AB、CD之間，連結(jié)EP、FP，如圖1，過FP上的點(diǎn)G作GH∥EP，交CD于點(diǎn)H，且∠1=∠2．

（1）求證：AB∥CD；
（2）如圖2，將射線FC沿FP折疊，交PE于點(diǎn)J，若JK平分∠EJF，且JK∥AB，則∠BEP與∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖3，將射線FC沿FP折疊，將射線EA沿EP折疊，折疊后的兩射線交于點(diǎn)M，當(dāng)EM⊥FM時(shí)，求∠EPF的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q，如圖1，

∵PE∥HG，

∴∠GPE=∠HGP，

∵∠GPE=∠1+∠PQE，∠HGP=∠2+∠HFG，

∵∠1=∠2，

∴∠PQE=∠HFG，

∴AB∥CD

（2）

解：延長(zhǎng)FP交CD于點(diǎn)Q，如圖2，

∠EPF+ ∠BEP=270°，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠BEP+∠FQP=180°，

∵將射線FC沿FP折疊，

∴∠QFP=∠PFJ，

∵JK∥AB，

∴JK∥CD，

∴∠FJK=2∠CFP，

∵∠EPF=∠EQF+∠QFP，

∴∠EPF=180°﹣∠BEP+∠QFP，

∵JK平分∠EJF，

∴∠FJK=∠KJE，

∵JK∥CD，

∴∠KJE=∠FQP，

∴∠EPF=180°﹣∠BEP+ ∠FJK，

∴∠EPF=180°﹣∠BEP+ ，

∴∠EPF+ ∠BEP=270°

（3）

解：延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q，如圖3，

∵AB∥CD，

∴∠CFQ=∠PQE，

∵將射線FC沿FP折疊，將射線EA沿EP折疊，

∴∠CFP=∠PFM，∠MEP=∠PEQ，

∵∠FPE=∠PQE+∠PEQ，

在四邊形FPEM中，

∠PFM+∠MEP+∠FPE=360°﹣90°=270°，

可得：2∠FPE=270°，

∴∠FPE=135°

【解析】（1）延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)證明即可；（2）延長(zhǎng)FP交CD于點(diǎn)Q，根據(jù)折疊和平行線的性質(zhì)解答即可；（3）延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q，根據(jù)折疊和四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行分析解答．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)和翻折變換（折疊問題）的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等才能正確解答此題．