Question

（本題滿分8分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在BC邊上，且∠GDF=∠ADF．

（1）求證：△ADE≌△BFE；

（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）EG垂直平分DF，理由見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；

（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．

試題解析：（1）∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∵E為AB的中點，∴AE=BE，在△AED和△BFE中，∵∠ADE=∠EFB，∠AED=∠BEF，AE=BE，∴△AED≌△BFE（AAS）；

（2）EG與DF的位置關(guān)系是EG垂直平分DF，理由為：連接EG，

∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，由（1）△AED≌△BFE得：DE=EF，即GE為DF上的中線，∴GE垂直平分DF．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．