Question

（滿分11分）
如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG均為正方形，連接BG與DE相交于點(diǎn)H．

（1）證明：△ABG △ADE ；
（2）試猜想BHD的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）將圖中正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°＜BAE ＜180°），設(shè)△ABE的面積為，△ADG的面積為，判斷與的大小關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

略解析:
（1）證法一：
證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中
∠GAE=∠BAD=90°              ……1分
∠GAE+∠EAB=∠BAD+EAB 
即∠GAB=∠EAD                  ……2分
又AG="AE " AB="AD"
∴△ABG≌△ADE                   ……4分
證法二：
證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD與四邊形AEFG都是正方形，所以∠GAE=∠BAD=90°，AG=AE，AB=AD，所以△EAD可以看成是△GAB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，
所以△ABG≌△ADE
（2）證法一：
我猜想∠BHD=90°理由如下：
∵△ABG≌△ADE  ∴∠1=∠2     ……5分
而∠3=∠4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4
∵∠2+∠4="90  " ∠1+∠3=90°   ……6分
∴∠BHD=90°                  ……7分
證法二：
我猜想∠BHD=90°理由如下：
由（1）證法(二)可知△EAD可以看成是△GAB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，BG與DE是一組對(duì)應(yīng)邊，
所以BG⊥DE，即∠BHD=90°
（3）證法一：
當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
0°＜∠BAE＜180°時(shí),S1和S2總保持相等．  ……8分
證明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三種情況：
①當(dāng)0°＜∠BAE＜90°時(shí) （如圖10）
過(guò)點(diǎn)B作BM⊥直線AE于點(diǎn)M，
過(guò)點(diǎn)D作DN⊥直線AG于點(diǎn)N．

∵∠MAN=∠BAD=90°
∴∠MAB=∠NAD
又∠AMB=∠AND=90° AB=AD
∴△AMB≌△AND 
∴BM="DN   " 又AE=AG
∴
∴           ……９分
②當(dāng)∠BAE=90°時(shí) 如圖10（）
∵AE="AG " ∠BAE =∠DAG =90°AB=AD
∴△ABE≌△ADG

∴　　　　 ……１０分
③當(dāng)90°＜∠BAE＜180°時(shí) 如圖10（b）
和①一樣；同理可證
綜上所述，在（3）的條件下，總有． ……11分
證法二：
①當(dāng)0°＜∠BAE＜90°時(shí)，如圖10(c)
作EM⊥AB于點(diǎn)M，作GN⊥AD交DA延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

則∠GNA=∠EMA=90°
又∵四邊形ABCD與
四邊形AEFG都是正方形，
∴AG=AE，AB=AD
∴∠GAN+∠EAN=90°，
∠EAM+∠EAN=90°
∴∠GAN=∠EAM
∴△GAN≌△EAM（AAS）∴GN=EM



∴
②③同證法一類似
證法三：
當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0°＜∠BAE＜180°時(shí),S1和S2總保持相等． ……8分       

證明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三種情況：
①當(dāng)0°＜∠BAE＜90°時(shí)　如圖10（d）
延長(zhǎng)GA至M使AM=AG，連接DM，則有

∵AE=AG=AM，AB=AD
又∠1+∠2=90°
∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
∴△ABE≌△ADM （SAS）
∴
∴　　　　　　　　　　　……９分
②當(dāng)∠BAE=90°時(shí) （同證法一）　……10分
③當(dāng)90°＜∠BAE＜180°時(shí)如圖10（e）和①一樣；
同理可證
綜上所述，在（3）的條件下，總有  ……11分

證法四：
當(dāng)0°＜∠BAE＜90°時(shí)如圖10（f）延長(zhǎng)DA至M使AM=AD，連接GM，

則有
再通過(guò)證明
△ABE與△AMG全等從而證出�、冖弁�證法一類似
證法五：
（這種證法用三角函數(shù)知識(shí)證明，無(wú)須分類證明）
如圖10(g)四邊形ABCD與四邊形AEFG都是正方形，

∴AG=AE，AB=AD
當(dāng)∠BAE=時(shí)，∠GAD=180°-則
sin(180°-)=sin

即
∴