Question

已知函數(shù)y₁=x，y₂=x²+bx+c，α，β為方程y₁-y₂=0的兩個根，點M（t，T）在函數(shù)y₂的圖象上。
（Ⅰ）若，，求函數(shù)y₂的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若函數(shù)y₁與y₂的圖象的兩個交點為A，B，當△ABM的面積為時，求t的值；
（Ⅲ）若0<α<β<1，當0<t<1時，試確定T，α，β三者之間的大小關系，并說明理由。

Answer 1

解：（I）∵y₁=x，y₂=x²+bx+c，y₁-y₂=0，
∴x²+（b-1）x+c=0，
將分別代入x²+（b-1）x+c=0，得
，，
解得，
∴函數(shù)y₂的解析式為；
（Ⅱ）由已知，得，設△ABM的邊AB上的高為h，
∴，即，
根據(jù)題意，|t-T|=，
由得，
當，解得，
當，解得，
∴t的值為；
（Ⅲ）由已知，得
α=α²+bα+c，β=β²+bβ+c，T=t²+bt+c，
∴T-α=（t-α）（t+α+b）
T-β=（t-β）（t+β+b），
α-β=（α²+bα+c）-（β²+bβ+c），
化簡得（α-β）（α+β+b-1）=0
由0<α<β<1，得α-β≠0，
α+β+b-1=0，
有α+b=1-β>0，β+b=1-α>0，
又0<t<1，∴t+α+b>0，t+β+b>0，
∴當0<t≤α時，T≤α<β；
當α<t≤β時，α<T≤β；
當β<t<1時，α<β<T。