Question

如圖，⊙O的弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，AB與CD的距離為7，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理

專題：

分析：過O作OE⊥CD交CD于E點，過O作OF⊥AB交AB于F點，連接OA、OC，由題意可得：AE=EB=3，CE=ED=4，E、F、O在一條直線上，EF為AB、CD之間的距離，再分別解Rt△OEC、Rt△OFA，即可得OE、OF的長，然后分AB、CD在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況得出關(guān)于R的方程，求出即可．

解答：解：設(shè)⊙O的半徑為R，①當(dāng)AB、CD在圓心兩側(cè)時；
過O作OE⊥CD交CD于E點，過O作OF⊥AB交AB于F點，連接OA、OC，如圖所示：
∵半徑r=5，弦AB∥CD，且AB=6，CD=8，
∴OA=OC=5，CE=DE=4，AF=FB=3，E、F、O在一條直線上，
∴EF為AB、CD之間的距離
在Rt△OEC中，由勾股定理可得：
OE²=OC²-CE²
∴OE=

R2-42

，
在Rt△OFA中，由勾股定理可得：
OF²=OA²-AF²
∴OF=

R2-32

∴EF=OE+OF=7，
∴

R2-32

+

R2-42

=7，
解得：R=5；
②當(dāng)AB、CD在圓心同側(cè)時；
同①可得：OE=3，OF=4；
則AB與CD的距離為：OF-OE=7，

R2-32

-

R2-42

=7，
即14

R2-16

=-42，
此時方程無解；
所以⊙O的半徑為5．

點評：本題考查了垂徑定理以及解直角三角形的運用，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，要注意有兩種情況．