Question

已知點(diǎn)A（1，1），B（5，4），點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且△ABP為等腰三角形，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：分兩種情況討論：當(dāng)AB為底邊時(shí)，點(diǎn)P是AB的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；當(dāng)AB為等腰三角形的腰時(shí)，分別以A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求．

解答：解：當(dāng)AB為底邊時(shí)，如圖，作AB的垂直平分線(xiàn)與坐標(biāo)軸的交于P₁、P₂，垂足為M，
∵點(diǎn)A（1，1），B（5，4），
∴直線(xiàn)AB為y=

3

4

x+

1

4

，
∴M（3，

5

2

），
設(shè)直線(xiàn)AB的垂直平分線(xiàn)為y=-

4

3

x+n，
把M（3，

5

2

）代入得：n=

13

2

，
∴直線(xiàn)AB的垂直平分線(xiàn)為y=-

4

3

x+

13

2

，
∴令y=0，解得，x=

39

8

，
∴P₁（

39

8

，0）
令x=0，解得，y=

13

2

，
∴P₂（0，

13

2

），

當(dāng)AB為等腰三角形的腰時(shí)，分別以A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求，
此時(shí)P的坐標(biāo)為P₃（0，1+2

6

），P₄（-2

6

+1，0），P₅（0，-2

6

+1），P₆（2

6

+1，0），P₇（0，5），P₈（2，0），P₉（8，0）．
所以所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（

39

8

，0）P₂（0，

13

2

），P₃（0，1+2

6

），P₄（-2

6

+1，0），P₅（0，-2

6

+1），P₆（2

6

+1，0），P₇（0，5），P₈（2，0），P₉（8，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)；要注意分點(diǎn)在三角形內(nèi)部和三角形外部?jī)煞N情況討論，思考全面是正確解答本題的關(guān)鍵．