如圖,正△ABC外接圓的半徑為R,求正△ABC的邊長(zhǎng),邊心距,周長(zhǎng)和面積.
分析:連接OB,OA,延長(zhǎng)AO交BC于D,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AD⊥BC,BD=CD=
1
2
BC,∠OBD=30°,求出OD,根據(jù)勾股定理求出BD,即可求出BC,BC的三倍即為周長(zhǎng),根據(jù)三角形的面積公式求出即可.
解答:解:連接OB,OA,延長(zhǎng)AO交BC于D,
∵正△ABC外接圓是⊙O,
∴AD⊥BC,BD=CD=
1
2
BC,∠OBD=
1
2
∠ABC=
1
2
×60°=30°,
即邊心距OD=
1
2
OB=
1
2
R,
由勾股定理得:BD=
OB2-OD2
=
3
2
R,
即三角形邊長(zhǎng)為BC=2BD=
3
R,AD=AO+OD=R+
1
2
R=
3
2
R,
則△ABC的周長(zhǎng)是3BC=3×
3
R=3
3
R;
則△ABC的面積是
1
2
BC×AD=
1
2
×
3
3
2
R=
3
3
4
R2
點(diǎn)評(píng):本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì),勾股定理,三角形的外接圓,三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,關(guān)鍵是能正確作輔助線后求出BD的長(zhǎng),題目具有一定的代表性,主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力.
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