Question

（2006•杭州）已知，直線y=-x+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90度．且點(diǎn)P（1，a）為坐標(biāo)系中的一個(gè)動點(diǎn)．
（1）求三角形ABC的面積S_△ABC；
（2）證明不論a取任何實(shí)數(shù)，三角形BOP的面積是一個(gè)常數(shù)；
（3）要使得△ABC和△ABP的面積相等，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線的解析式容易求出A，B的坐標(biāo)，也可以求出OA，OB，AB的長，由于三角形ABC是等腰直角三角形，知道AB就可以求出S_△ABC；
（2）不論a取任何實(shí)數(shù)，△BOP都可以以BO=1為底，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離1為高，所以三角形BOP的面積是一個(gè)常數(shù)；
（3）△ABC的面積已知，把△ABP的面積用a表示，就可以得到關(guān)于a的方程，解方程可以求出a．
解答：解：（1）令y=-x+1中x=0，得點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1）；
令y=0，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（，0），
由勾股定理得|AB|=2，
∴S_△ABC=2；

（2）不論a取任何實(shí)數(shù)，△BOP都可以以BO=1為底，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離1為高，
∴S_△BOP=為常數(shù)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，
∵S_△ABO=，S_△APO=a，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=2，
即+a-=2，
解得a=-1，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，同理可得a=1+．
點(diǎn)評：此題主要考查一次函數(shù)圖象的性質(zhì)來探討變化三角形的面積，也結(jié)合了方程的知識，解方程就可以求出a．