在面積為24的△ABC中,矩形DEFG的邊DE在AB上運動,點F、G分別在邊BC,AC上.
(1)若AB=8,DE=2EF,求GF的長;
(2)若∠ACB=90°,如圖2,線段DM、EN分別為△ADG和△BEF的角平分線,求證:MG=NF;
(3)直接寫出矩形DEFG的面積的最大值.
注:在解本題時,可能要用到以下知識點,如果需要可直接引用結(jié)論.三角形內(nèi)角角平分線定理:在△ABC中,當AD是頂角A的平分線交底邊BC于D時,
BD
CD
=
AB
AC

分析:(1)根據(jù)三角形的面積公式即可求得△ABC的高,然后依據(jù)△CGF∽△CAB,相似三角形的對應(yīng)邊上的高的比等于相似比即可求得;
(2)過G作BC的平行線,過D作EN的平行線,兩平行線交于P點.在DM上截取GQ=GP,連接QG,則△GPD≌△FNE,然后證明△GPD≌△GQD,根據(jù)等角對等邊證明GM=GQ,從而證得結(jié)論;
(3)作CM⊥AB于M,交GF于點N.設(shè)BC=a,BC邊上的高是h,DG=y,則CM=h,CN=h-y,ah=48,設(shè)GF=x,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以表示出矩形DEFG的面積,然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
解答:解:(1)∵△ABC的面積是24,AB=8,
∴△ABC的高為6,
設(shè)GF=x,
∵矩形GDEF,DE=2EF,
∴GF∥DE,EF=
1
2
GF=
1
2
x,
∴△CGF∽△CAB,
GF
AB
=
6-EF
6
,
x
8
=
6-
1
2
x
6

∴x=4.8,
∴GF=4.8;
                                                       
(2)過G作BC的平行線,過D作EN的平行線,兩平行線交于P點,在DM上截取GQ=GP,連接QG,則△GPD≌△FNE,
∴FN=GP,
∵∠GDQ=∠GDP=45°,
∴△GPD≌△GQD.
∴GQ=GP,∠GQD=∠GPD,
∵∠MGP=∠MDP=90°,
∴∠GMD+∠GPD=180°,
∵∠GQM+∠GQD=180°,
∴∠GMQ=∠GQM,
∴GM=GQ,
∴MG=NF;

(3)作CM⊥AB于M,交GF于點N.
設(shè)BC=a,BC邊上的高是h,DG=y,則CM=h,CN=h-y,ah=48,設(shè)GF=x.
∵△CGF∽△CAB,
GF
AB
=
h-EF
h
,即
x
a
=
h-y
h
,
則xh=ah-ay,
則y=
ah-ay
a
=
48-xh
a
,
則矩形DEFG的面積s=xy=
48-xh
a
•x,
即:S=-
h
a
x2+
48
a
x,
當x=
48
a
-
2h
a
=
24
h
時,S有最大值,
最大值是:-
h
a
24
h
2+
48
a
24
h
=-
576
ah
+
48×24
ah
=-
576
48
+
1152
48
=12;
故矩形DEFG的面積的最大值是12.
點評:此題考查了相似形的綜合,用到的知識點是相似三角形的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)以及全等三角形的判定的綜合應(yīng)用,正確理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
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(1)若AE=8,DE=2EF,求GF的長;
(2)若∠ACB=90°,如圖2,線段DM、EN分別為△ADG和△BEF的角平分線,求證:MG=NF;
(3)請直接寫出矩形DEFG的面積的最大值.

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(3)經(jīng)過多長時間,平移后后的長方形與原來長方形重疊部分面積為24平方厘米.

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