Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的OA邊在x軸上，OB邊在y軸上，且OA=2，AB=

5

，將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得△OCD，已知點(diǎn)E的坐標(biāo)是（2、2）
（1）求經(jīng)過D、C、E點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M（x、y）是拋物線上任意點(diǎn)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，過M作x軸的垂線交直線AC于N，試探究線段MN是否存在最大值，若存在，求出最大值是多少？并求出此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）P為直線AC上一動點(diǎn)，連接OP，作PF⊥OP交直線AE于F點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PAF是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）在Rt△AOB中，AB=

5

，OA=2，由勾股定理得：OB=1；
由于△ODC是由△OBA旋轉(zhuǎn)90°所得，
所以O(shè)B=OD=1，OA=OC=2，
因此D（-1，0），C（0，2），A（2，0），
∵E（2，2），
設(shè)拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，則有：

c=2 a-b+c=0 4a+2b+c=2

，
解得

a=- 2 3 b= 4 3 c=2

；
∴拋物線的解析式為：y=-

2

3

x²+

4

3

x+2．

（2）∵A（2，0），C（0，2），
∴直線AC：y=-x+2；
∴M（x，-

2

3

x²+

4

3

x+2），N（x，-x+2）；
故MN=-

2

3

x²+

4

3

x+2-（-x+2）=-

2

3

x²+

7

3

x=-

2

3

（x-

7

4

）²+

49

24

，
因此當(dāng)x=1，即M（

7

4

，

55

24

）時(shí)，MN取最大值，且最大值為

49

24

．

（3）由于P在直線AC上，
所以設(shè)P（a，-a+2）（a≠1且a≠2），
則直線OP：y=

2-a

a

x；
由于PF⊥OP，可設(shè)直線PF：y=

a

a-2

x+h，則有：

a

a-2

×a+h=-a+2，h=-a+2-

a2

a-2

=

-2a2+4a-4

a-2

，
即直線PF：y=

a

a-2

x+

-2a2+4a-4

a-2

；
當(dāng)x=2時(shí)，y=

2a-a2+4a-4

a-2

=-2a+2；
∴P（a，-a+2），F(xiàn)（2，-2a+2），A（2，0），
∴PF²=（a-2）²+a²，PA²=（2-a）²+（a-2）²=2（a-2）²，AF²=（-2a+2）²，
①當(dāng)PF=PA時(shí)，PF²=PA²，則有：
（a-2）²+a²=2（a-2）²，
解得a=1（不合題意，舍去）；
故此種情況不成立；
②當(dāng)PF=AF時(shí)，PF²=AF²，則有：
（a-2）²+a²=（-2a+2）²，
解得a=0，a=2（舍去），
∴P（0，2）；
③當(dāng)PA=AF時(shí)，PA²=AF²，則有：
2（a-2）²=（-2a+2）²，
解得a=±

2

，
∴P（

2

，2-

2

）或P（-

2

，2+

2

）；
綜上所述，存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為：P₁（0，2），P₂（

2

，2-

2

），P₃（-

2

，2+

2

）．