Question

已知，如圖，過點A、O的圓與y軸相交于一點C，與AB相交于一點E，直線AB的解析式為y=kx+4k，過點A、O的拋物線y=ax²+bx+c的頂點為P．
（1）若點C的坐標為（0，），AC平分∠BAO，求點B的坐標；
（2）若AC=OE，且點P在AB上，是否存在實數(shù)m，對于拋物線y=ax²+bx+c上任意一點M（x，y），都能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點C的坐標為（0，），
∴OC=，
∵直線AB的解析式為y=kx+4k，設y=0，
∴x=-4，
∴A的坐標為（-4，0），
∴AO=4，
∵tan∠CAO==，
∴∠CAO=30°，
∵AC平分∠BAO，
∴∠BAO=60°，
∴BO=AO•tan60°=4×=4，
∴B（0，4）；
（2）∵∠B=∠B，∠BAC=∠BOE，
∴△ACB∽△OEB，
∴，
∵AC=OE，
∴=，
∵sin∠BAO==，
∴∠BAO=45°，
∴AO=BO=4，
∴B坐標為（4，0）
把B坐標為（4，0）代入y=kx+4k得：k=1，
∴直線AB的解析式為y=x+4，
∵拋物線y=ax²+bx+c過點A、O，
∴可設y=a（x-0）（x+4）=a（x²+4x+4）-4a=a（x+2）²-4a，
∴頂點P的坐標為（-2，-4a），
∵頂點P在直線上，
∴-2+4=-4a，
∴a=-，
∴y=-（x+2）²+2，
設任意一點M（x，y），能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立，
則（x+2）²=（y-2-m）²-（y-2+m）²成立，
∴（x+2）2=2（y-2）（-2m）
又∵y=-（x+2）²+2，
∴（x+2）2=4-2y，
∴4-2y=-4my+8m，
∴4=8m，-2y=-4my，
∴m=，
即存在m=，對于拋物線y=-（x+2）²+2上任意一點，都能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立．
分析：（1）因為直線AB的解析式為y=kx+4k，設y=0可得直線和x軸交點的坐標，利用銳角三角函數(shù)和已知條件可求出角BAO的度數(shù)，再解直角三角形ABO即可求出OB的長，進而求出B的坐標；
（2）利用有兩對角相等的三角形相似可先證明△ACB∽△OEB，利用已知條件求出角BA0的度數(shù)，進一步得到三角形AOB是等腰直角三角形，進而得到直線的解析式，又因為拋物線的頂點坐標在P在直線上，可求出a的值，設任意一點M（x，y），能使（x+2）²+（y-2+m）²=（y-2-m）²成立，由拋物線的解析式和已知等式即可求出m的值．
點評：本題考查了一次函數(shù)和x軸交的問題、求二次函數(shù)得解析式、特殊角的三角函數(shù)、角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)以及存在性問題，題目的綜合性很強，對學生靈活運用知識的能力要求很高．