Question

已知：如圖，過(guò)點(diǎn)O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點(diǎn)M（2m，0），交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D；弧OBM與弧OAM關(guān)于x軸對(duì)稱，其中A、B、C是過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線與兩弧及圓的交點(diǎn)，以點(diǎn)B為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D的拋物線l交⊙P與另一點(diǎn)E．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求出拋物線l的函數(shù)關(guān)系式并寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)m取何值時(shí)，四邊形BDCE面積最大？最大面積是多少？
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得四邊形BDCE為菱形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可連接OP，PM，設(shè)AC與OM交于N，那么在直角三角形OPN中，OP=5，ON=m=4．因此PN=3，AN=BN=2，CN=PC+PN=8，因此A，B，C的坐標(biāo)分別為（4，2），（4，-2），（4，-8）．可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線的解析式，根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性可知：E點(diǎn)和D點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=4對(duì)稱，因此根據(jù)D的坐標(biāo)即可求出E點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)M（2m，0）得出A、B、C、D、E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出四邊形BDCE的面積，利用二次根式性質(zhì)得出最值即可．
（3）如果以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形組成菱形，那么這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直平分，如果設(shè)BC，DE的交點(diǎn)為F，那么BF=CF，可用A點(diǎn)的縱坐標(biāo)即AN的長(zhǎng)表示出BF和CF由此可求出A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可在直角三角形OAN中用勾股定理求出m的值．

解答：解：（1）連接OP，OB，
∵過(guò)點(diǎn)O且半徑為5的⊙P交x的正半軸于點(diǎn)M（2m，0），m=4，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為：（8，0），
∴ON=4，
∴NP=

52-42

=3，
∴AN=5-NP=2，
∴BN=2，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，-2），P點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，-3），
圖象過(guò)（0，0）點(diǎn)，
故將頂點(diǎn)（4，-2）代入頂點(diǎn)式得y=a（x-4） ²-2，
則0=a（0-4）²-2，
解得a=-

1

4

．
拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

4

（x-4）²-2．
x=0時(shí)，y=-6，故D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-6），拋物線對(duì)稱軸為x=4，
故根據(jù)對(duì)稱可知：E（8，-6）；

（2）∵點(diǎn)M（2m，0），
∴AN=PA-NP=5-

25-m2

，故A點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，5-

25-m2

），可得B（m，-5+

25-m2

），
C（m，-5-

25-m2

），D（0，-2

25-m2

），E（2m，-2

25-m2

），
四邊形BDCE的面積為：S=

1

2

BC•DE=

1

2

×2

25-m2

×2m=2

25m2-m4

=2

-(m2- 25 2 )2+ 625 4

，
所以當(dāng)m2=

25

2

，即m=±

5 2

2

（負(fù)值舍去）時(shí)，面積有最大值．
四邊形面積的最大值為：S=2

625 4

=25．


（3）設(shè)A（m，h），則B的坐標(biāo)為（m，-h），C的坐標(biāo)為（m，h-10），
假設(shè)以B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形組成菱形，則DE與BC互相垂直平分，設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)F，于是BF=CF．
則10-3h=h，
即h=

5

2

，
故BC=5，
此時(shí)B、P兩點(diǎn)重合，
故m=

52-( 5 2

)2=

5

2

3

，
或：因?yàn)锽C垂直且平分DE，所以DE平分BC時(shí)，四邊形BDCE是菱形．
-2

25-m2

=-5，m=

5 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、垂徑定理、勾股定理、菱形的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．