Question

如圖所示，O是銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC內(nèi)不同于O的另一點(diǎn)；△A₁BO₁、△A₁BP₁分別由△AOB，△APB旋轉(zhuǎn)而得，旋轉(zhuǎn)角都為60°，則下列結(jié)論：①A₁、O₁、O、C在一條直線上；②A₁O₁+O₁O=AO+BO；③A₁P₁+PP₁=PA+PB；④PA+PB+PC＞OA+OB+OC．其中正確的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：由于△A′BO₁，△A′BP₁分別由△AOB，△APB旋轉(zhuǎn)而得，旋轉(zhuǎn)角都為60°，得到BO₁=BO，BP₁=BP，∠OBO₁=∠PBP₁=60°，∠A′O₁B=∠AOB，O₁A′=OA，P₁A′=PA，則△BOO₁和△BP₁P都是等邊三角形，得到∠BOO₁=∠BO₁O=60°，OO₁=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，即可得到四個(gè)結(jié)論都正確．

解答：解：連PP₁，如圖，
∵△A′BO₁，△A′BP₁分別由△AOB，△APB旋轉(zhuǎn)而得，旋轉(zhuǎn)角都為60°，
∴BO₁=BO，BP₁=BP，∠OBO₁=∠PBP′=60°，∠A′O₁B=∠AOB，O₁A′=OA，P₁A′=PA，
∴△BOO₁和△BPP₁都是等邊三角形，
∴∠BOO₁=∠BO₁O=60°，O₁O=OB，
而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠A′O₁O=∠O₁OC=180°，
即△O₁BO為等邊三角形，且A′，O₁，O，C在一條直線上，所以①正確；
∴A′O₁+O₁O=AO+BO，所以②正確；
A′P₁+P₁P=PA+PB，所以③正確；
又∵CP+PP₁+P₁A′＞CA′=CO+OO₁+O₁A′，
∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短．