Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F是對(duì)角線BD上一點(diǎn)．
（1）如圖1，求證：AF=CF．
（2）如圖2，若△CDF繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)到△AEF，點(diǎn)E在CF延長(zhǎng)線上，連接BE，求證：△ABE是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分可得BD是AC垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AF=CF；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=CD，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=CD，從而得到AB=AE，然后根據(jù)點(diǎn)E在CF延長(zhǎng)線上求出∠CFD=60°，根據(jù)對(duì)頂角相等求出∠BFE=∠CFD，根據(jù)菱形的對(duì)角相等，對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠ABF=∠AEF，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠BAE=∠BFE=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定證明即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD是AC垂直平分線，
∴AF=CF；

（2）證明：如圖2，∵△CDF繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)到△AEF，
∴AE=CD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=CD，
∴AB=AE，
∵點(diǎn)E在CF延長(zhǎng)線上，
∴∠CFD+∠AFD+∠AFE=180°，
根據(jù)菱形的對(duì)稱性，∠CFD=∠AFD=∠AFE，
∴∠CFD=60°，
∴∠BFE=∠CFD=60°，
∵四邊形ABCD是菱形，△CDF繞著點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)到△AEF，
∴∠ABF=∠CDF=∠AEF，
∵∠1=180°-（∠AEF+∠BAE），∠2=180°-（∠ABF+∠BFE），∠1=∠2（對(duì)頂角相等），
∴∠BAE=∠BFE=60°，
∴△ABE是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，菱形的四條邊都相等的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質(zhì)，等邊三角形的判定，（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠BAE=∠BFE=60°是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．