Question

如圖，已知反比例函數(shù)y₁=

k1

x

的圖象與一次函數(shù)y₂=k₂x+b的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A（l，n），B（-

1

2

，-2）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖象，直接出不等式

k1

x

-k₂x-b≥0的解集；
（3）若點(diǎn)P在x軸上，則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、O、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出所有符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到k₁=1，則可確定比例函數(shù)解析式為y=

1

x

，再確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式為y=2x-1；
（2）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜-

1

2

或0＜x＜1時(shí)，反比例函數(shù)圖象都在一次函數(shù)圖象上方，即

k1

x

-k₂x-b≥0；
（3）分類討論：以O(shè)A為菱形的對(duì)角線：作AP₁⊥x軸于P₁，AQ₁⊥y軸于Q₁，得到四邊形OP₁AQ₁為正方形，則Q₁的坐標(biāo)為（0，1）；以O(shè)A為菱形的邊，由于OA=

2

，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，截取AQ₂=

2

，在x軸截取OP₂=

2

，則四邊形OP₂Q₂A為菱形，此時(shí)Q₂的坐標(biāo)為（

2

+1，1）；同樣可得到Q₂的坐標(biāo)為（-

2

+1，1）；作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q₃，點(diǎn)O關(guān)于直線AP₁的對(duì)稱點(diǎn)P₄，則四邊形OAP₄Q₄為菱形，此時(shí)Q₄的坐標(biāo)為（1，-1）．

解答：解：（1）把B（-

1

2

，-2）代入y₁=

k1

x

得k₁=-

1

2

×（-2）=1，
∴反比例函數(shù)解析式為y=

1

x

，
把A（1，n）代入y=

1

x

得n=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
把A（1，1）、B（-

1

2

，-2）分別代入y₂=k₂x+b得

k2+b=1 - 1 2 k2+b=-2

，解得

k2=2 b=-1

，
∴一次函數(shù)解析式為y=2x-1；

（2）當(dāng)x＜-

1

2

或0＜x＜1時(shí)，

k1

x

-k₂x-b≥0；

（3）①作AP₁⊥x軸于P₁，AQ₁⊥y軸于Q₁，如圖，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴四邊形OP₁AQ₁為正方形，Q₁的坐標(biāo)為（0，1）；
②OA=

2

，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線，截取AQ₂=

2

，在x軸截取OP₂=

2

，則四邊形OP₂Q₂A為菱形，此時(shí)Q₂的坐標(biāo)為（

2

+1，1）；
③與②一樣可得到Q₂的坐標(biāo)為（-

2

+1，1）；
④作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)Q₃，點(diǎn)O關(guān)于直線AP₁的對(duì)稱點(diǎn)P₄，則四邊形OAP₄Q₄為菱形，此時(shí)Q₄的坐標(biāo)為（1，-1），
綜上所述，滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）、（

2

+1，1）、（-

2

+1，1）、（1，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和菱形的判定與性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式和利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．