閱讀材料:如圖,△ABC中,AB=AC,P為底邊BC上任意一點,點P到兩 腰的距離分別為,腰上的高為h,連結(jié)AP,則,即: ,(1)理解與應(yīng)用
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在 三角形內(nèi)任一點”,即:已知邊長為2的等邊△ABC內(nèi)任意一點P到各邊的距離分別為,,,試證明:.
(2)類比與推理
邊長為2的正方形內(nèi)任意一點到各邊的距離的和等于 ;
(3)拓展與延伸
若邊長為2的正n邊形A1A2…An內(nèi)部任意一點P到各邊的距離為,請問是否為定值(用含n的式子表示),如果是,請合理猜測出這個定值。
(1)分別連接AP,BP,CP,由可證得,再求得等邊三角形邊的高為,即可.
(2) 4.
(3)
【解析】(1)由條件可以求出邊長為2的等邊三角形的高為,連接PA,PB,PC,仿照面積的割補法,得出S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,而這幾個三角形的底相等,故化簡后可得出高的關(guān)系.
(2)如圖正方形過正方形內(nèi)的任一點P向四邊做垂線就可以求出到正方形四邊的距離和為正方形邊長的2倍,從而得出結(jié)論.
(3)問題轉(zhuǎn)化為正n邊形時,根據(jù)正n邊形計算面積的方法,從中心向各頂點連線,可得出n個全等的等腰三角形,用邊長2為底,邊心距為高,可求正n邊形的面積,然后由P點向正n多邊形,又可把正n邊形分割成n過三角形,以邊長為底,以r1、r2、…、rn為高表示面積,列出面積的等式,可求證r1+r2+…+rn為定值.
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x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
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(x2-x1)2+(y2-y1)2 |
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