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如圖1,過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線,外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法:S△ABC=
12
ah
,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題:精英家教網(wǎng)
如圖2,拋物線頂點坐標為點C(-1,-4),交x軸于點A(-3,0),交y軸于點B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點P是拋物線(在第三象限內(nèi))上的一個動點,連接PA,PB,當P點運動到頂點C時,求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB;
(3)是否存在一點P,使S△PAB=S△CAB,若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)題意,可設出拋物線頂點解析式,代入A點的坐標,即可得出拋物線的解析式;利用拋物線的解析式,得出B點的坐標,結合A點的坐標,即可得出直線AB的解析式;
(2)當P運動到C點時,此時鉛直高為點C縱坐標;又可得出AB的距離,即可得出△CAB的面積;
(3)假設存在這樣的點P 橫坐標為x,鉛直高為H,結合題意,可用含x的代數(shù)式表示出,利用條件S△PAB=S△CAB,即可得出x的值,代入可得出P的縱坐標,并適當取舍.
解答:解:(1)設拋物線的解析式為y1=a(x+1)2-4.
把A(-3,0)代入解析式,解得a=1.
∴拋物線的表達式為y1=(x+1)2-4=x2+2x-3;
∴B點的坐標為(0,-3).(3分)
設直線AB的表達式為y2=kx+b.
把A(-3,0),B(0,-3)待入,得
-3k+b=o
b=-3
解得k=-1,b=-3.
∴直線AB的表達式為y2=-x-3.(4分)

(2)因為點C坐標為(-1,-4),
∴當x=-1時,y1=-4,y2=-2.
∴CD=-2-(-4)=2.(5分)
S△ABC=
1
2
OA•CD=
1
2
×3×2=3
.(6分)

(3)假設存在符合條件的點P,設P點的橫坐標為x(-3<x<0),
△PAB的鉛垂高為H.則H=y2-y1=(-x-3)-(x2+2x-3)=-x2-3x.(7分)
由S△PAB=S△CAB,得
1
2
×3×(-x2-3x)=3

化簡得:x2+3x+2=0.解得x1=-2,x2=-1.(9分)
將x=-2代入y1=x2+2x-3 中,解得P點坐標為(-2,-3).
將x=-1代入y1=x2+2x-3 中,P點坐標為(-1,-4)與頂點C重合.
所以還存在點P(-2,-3),滿足條件.(12分)
點評:本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應用,以及三角形面積等知識點,有一定的綜合性和難度,學生在做題目時要認真分析和理解題目所給條件,即可完成題目.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

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S△ABC=
1
2
ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題:
如圖2,拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點,連接PA,PB,當P點運動到頂點C時,求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB;
(3)是否存在拋物線上一點P,使S△PAB=
9
8
S△CAB?若存在,求出P點的坐標;若精英家教網(wǎng)不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

精英家教網(wǎng)閱讀材料:如圖1,過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線,外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”(h).我們可得出一種計算三角形面積的新方法:S△ABC=
12
ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
解答下列問題:
如圖2,拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0),點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點B為拋物線與y軸的交點,求直線AB的解析式;
(3)在(2)的條件下,設拋物線的對稱軸分別交AB、x軸于點D、M,連接PA、PB,當P點運動到頂點C時,求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB;
(4)在(2)的條件下,設P點的橫坐標為x,△PAB的鉛垂高為h、面積為S,請分別寫出h和S關于x的函數(shù)關系式.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

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解答下列問題:
如圖2,拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0),點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點B為拋物線與y軸的交點,求直線AB的解析式;
(3)設點P是拋物線(第一象限內(nèi))上的一個動點,是否存在一點P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:2010年安徽省巢湖市無為縣中考數(shù)學模擬試卷(解析版) 題型:解答題

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S△ABC=ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.
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如圖2,拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點B.
(1)求拋物線和直線AB的解析式;
(2)點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點,連接PA,PB,當P點運動到頂點C時,求△CAB的鉛垂高CD及S△CAB;
(3)是否存在一點P,使S△PAB=S△CAB?若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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