Question

【題目】如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，﹣3）．

（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）把直線OA向上平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B（﹣6，m），與x軸交于點(diǎn)C，求m的值和直線BC的表達(dá)式；

（3）在（2）的條件下，直線BC與y軸交于點(diǎn)D，求以點(diǎn)A，B，D為頂點(diǎn)的三角形的面積；

（4）在（3）的條件下，點(diǎn)A，B，D在二次函數(shù)的圖象上，試判斷該二次函數(shù)在第三象限內(nèi)的圖象上是否存在一點(diǎn)E，使四邊形OECD的面積S1與四邊形OABD的面積S滿足：S1=S？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1） ，；（2） ,；（3）；（4）E的坐標(biāo)是（﹣2，﹣）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）把B（﹣6，m）代入反比例函數(shù)解析式即可求出m的值，再根據(jù)直線平移的性質(zhì)即可求直線BC的表達(dá)式；

（3）作AM⊥y軸于點(diǎn)M，作BN⊥y軸于點(diǎn)N，根據(jù)S四邊形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN，S△ABD=S四邊形ABDM﹣S△ADM即可求解；

（4）設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+，然后利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，根據(jù)S1=S即可求得S1的值，根據(jù)S1=S△OCD+S△OCE列方程求出y0的值，再由E（x0，y0）在二次函數(shù)的圖象上，即可求得x0的值，進(jìn)而求得E的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式是y=kx，代入（﹣3，﹣3），得：﹣3k=﹣3，解得：k=1，

則正比例函數(shù)的解析式是：y=x；

設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=，把（﹣3，﹣3）代入解析式得：k1=9，

則反比例函數(shù)的解析式是：y=；

（2）m==﹣，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（﹣6，﹣），

∵y=k3x+b的圖象是由y=x平移得到，

∴k3=1，即y=x+b，

故一次函數(shù)的解析式是：y=x+；

（3）∵y=x+的圖象交y軸于點(diǎn)D，

∴D的坐標(biāo)是（0，），

作AM⊥y軸于點(diǎn)M，作BN⊥y軸于點(diǎn)N．

∵A的坐標(biāo)是（﹣3，﹣3），B的坐標(biāo)是（6，﹣），

∴M的坐標(biāo)是（0，﹣3），N的坐標(biāo)是（0，﹣）．

∴OM=3，ON=．

則MD=3+=，DN=+=6，MN=3﹣=．

則S△ADM=×3×=，S△BDN=×6×6=18，S梯形ABNM=×（3+6）×=．

則S四邊形ABDM=S梯形ABNM+S△BDN=+18=，

S△ABD=S四邊形ABDM﹣S△ADM=﹣=；

（4）設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=ax2+bx+，

則，

解得：，

則這個(gè)二次函數(shù)的解析式是：y=x2+4x+；

點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣，0）．

則S=×6﹣×6×6﹣×3×﹣×3×=45﹣18﹣﹣=．

假設(shè)存在點(diǎn)E（x0，y0），使S1=S=×=．

∵四邊形CDOE的頂點(diǎn)E只能在x軸的下方，

∴y0＜0，

∴S1=S△OCD+S△OCE=××﹣×y0=﹣y0，

∴﹣y0=，

∴y0=﹣，

∵E（x0，y0）在二次函數(shù)的圖象上，

∴x02+4x0+=﹣，

解得：x0=﹣2或﹣6．

當(dāng)x0=﹣6時(shí)，點(diǎn)E（﹣6，﹣）與點(diǎn)B重合，這時(shí)CDOE不是四邊形，故x0=﹣6（舍去）．

∴E的坐標(biāo)是（﹣2，﹣）．