Question

如圖，一塊含有30°的直角三角形ABC，在水平桌面上繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)到△A′B′C′的位置，若BC=3cm，則：
（1）頂點(diǎn)A從開(kāi)始到結(jié)束共走過(guò)的路徑有多長(zhǎng)？（計(jì)算結(jié)果保留π）
（2）直角三角形ABC掃過(guò)的面積是多少？（計(jì)算結(jié)果保留π）

Answer 1

考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算,扇形面積的計(jì)算,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AC=2BC，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ACB=60°，然后求出∠ACA′=120°，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得出頂點(diǎn)A從開(kāi)始到結(jié)束共走過(guò)的路徑即為弧的長(zhǎng)度；
（2）直角三角形ABC掃過(guò)的面積是扇形CAA′的面積與三角形ABC面積的和．

解答：解：（1）∵∠A=30°，BC=3cm，
∴AC=2BC=2×3=6cm，
∴AB=3

3

cm，
∠ACB=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠ACA′=180°-60°=120°，
頂點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)=

120•π•6

180

=4πcm，
（2）AC旋轉(zhuǎn)到A′C所掃過(guò)的扇形面積=

120•π•62

360

=12πcm²，
S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×3

3

×3=

9 3

2

cm²，
∴直角三角形ABC掃過(guò)的面積=12π+

9 3

2

（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，扇形的面積的計(jì)算，熟記各性質(zhì)并求出AC的長(zhǎng)度和∠ACA′=120°是解題的關(guān)鍵．