Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（-1，0）、B（3，0）兩點，拋物線與y軸交點為C，其頂點為D，連接BD，點P是線段BD上一個動點（不與B、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）如果P點的坐標為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數(shù)關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
（3）在（2）的條件下，當s取得最大值時，過點P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為P'，請直接寫出P'點坐標，并判斷點P'是否在該拋物線上．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（-1，0）、B（3，0）兩點，分別求出a、b的值，再代入拋物線y=ax²+bx+3即可求出它的解析式．
（2）本題首先設出BD解析式y(tǒng)=kx+b，再把B、D兩點坐標代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據(jù)面積公式即可求出最大值．
（3）本題需先根據(jù)（2）得出最大值來，求出點P的坐標，得出四邊形PEOF是矩形，再作點P關于直線EF的對稱點P′設出MC=m，則MF=m．從而得出P′M與P′E的值，根據(jù)勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐標，判斷出不在拋物線上．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過A（-1，0）、B（3，0）兩點
∴把（-1，0）B（3，0）代入拋物線得：a=-1，b=2，
∴拋物線解析式為：y=-x²+2x+3．
∴頂點D的坐標為（1，4）；

（2）設直線BD解析式為：y=kx+b（k≠0），把B、D兩點坐標代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，
解得k=-2，b=6，
直線BD解析式為y=-2x+6，
S=

1

2

PE•OE，
S=

1

2

PE•OE=

1

2

xy=

1

2

x（-2x+6）=-x²+3x，
∵頂點D的坐標為（1，4），B（3，0）
∴1＜x＜3，
∴S=-x²+3x（1＜x＜3），
S=-（x²-3x+

9

4

）+

9

4

，
=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴當x=

3

2

時，S取得最大值，最大值為

9

4

；

（3）當S取得最大值，x=

3

2

，y=3，
∴P（

3

2

，3），
∴四邊形PEOF是矩形．
作點P關于直線EF的對稱點P′，連接P′E，P′F．
過P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點M，
設MC=m，則MF=m，P′M=3-m，P′E=

3

2

，
在Rt△P′MC中，由勾股定理，
（

3

2

）²+（3-m）²=m²，
解得m=

15

8

，
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=

9

10

，
由△EHP′∽△EP′M，
可得

EH

EP′

=

EP′

EM

，
∴

EH

3 2

=

3 2

15 8

解得：EH=

6

5

．
∴OH=3-

6

5

=

9

5

．
∴P′坐標（-

9

10

，

9

5

）．
不在拋物線上．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時要根據(jù)拋物線的性質，再結合相似三角形的性質，去求答案是解題的關鍵．