Question

（2008•南充）如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，過(guò)C點(diǎn)作CG∥AD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD．
（1）試問(wèn)：CG是⊙O的切線嗎？說(shuō)明理由；
（2）請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；
（3）若AB=8，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知點(diǎn)C在圓上，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠FCG=90°，即OC⊥CG；故CG是⊙O的切線．
（2）方法比較多，應(yīng)通過(guò)等邊三角形的性質(zhì)或三角形全等的思路來(lái)考慮；
（3）Rt△OCE中，有三角函數(shù)的定義，可得CE=OE×cot30°，故代入OE=2可得CE的長(zhǎng)．
解答：（1）解：CG是⊙O的切線．理由如下：
∵CG∥AD，
∵CF⊥AD，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切線；

（2）證明：
第一種方法：連接AC，如圖，（2分）
∵CF⊥AD，AE⊥CD且CF，AE過(guò)圓心O，
∴，．
∴AC=AD=CD．
∴△ACD是等邊三角形．（3分）
∴∠D=60°．
∴∠FCD=30°．（4分）
在Rt△COE中，
∴OE=OB．
∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)．（5分）

第二種方法：連接BD，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
又∵∠AFO=90°，
∴∠ADB=∠AFO，∴CF∥BD．
∴△BDE∽△OCE．（3分）
．
∵AE⊥CD，且AE過(guò)圓心O，
∴CE=DE．（4分）
∴BE=OE．
∴點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)．（5分）

（3）解：∵AB=8，
∴OC=AB=4．
又∵BE=OE，
∴OE=2．（6）
∴CE=OE×cot30°=．（7分）
∵AB⊥CD，
∴CD=2CE=．（8分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查常見(jiàn)的幾何題型，包括切線的判定，線段等量關(guān)系的證明及線段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．