Question

如圖，直線與坐標(biāo)軸分別交于點A、B，與直線y=x交于點C．在線段OA上，動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)向點A做勻速運(yùn)動，同時動點P從點A出發(fā)向點O做勻速運(yùn)動，當(dāng)點P、Q其中一點停止運(yùn)動時，另一點也停止運(yùn)動．分別過點P、Q作x軸的垂線，交直線AB、OC于點E、F，連接EF．若運(yùn)動時間為t秒，在運(yùn)動過程中四邊形PEFQ總為矩形（點P、Q重合除外）．

（1）求點P運(yùn)動的速度是多少？
（2）當(dāng)t為多少秒時，矩形PEFQ為正方形？
（3）當(dāng)t為多少秒時，矩形PEFQ的面積S最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（1）∵直線與坐標(biāo)軸分別交于點A、B，
∴x=0時，y=4；y=0時，x=8�！郆O=4，AO=8。∴。
當(dāng)t秒時，QO=FQ=t，則EP=t，
∵EP∥BO，∴△ABO∽△ARP�！�，即。
∴AP=2t。
∵動點Q以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)向點A做勻速運(yùn)動，
∴點P運(yùn)動的速度是每秒2個單位長度。
（2）∵當(dāng)OP=OQ時，PE與QF重合，此時t=，當(dāng)點P、Q其中一點停止運(yùn)動時，另一點也停止運(yùn)動，
∴分0＜t＜和＜t≤4兩種情況討論：
如圖1，當(dāng)0＜t＜。即點P在點Q右側(cè)時，若PQ=PE，矩形PEFQ為正方形，

∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8－t－2t=8－3t。
∴8－3t=t。
解得：t=2。
如圖2，當(dāng)＜t≤4，即點P在點Q左側(cè)時，若PQ=PE，矩形PEFQ為正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t。

∴。
∴。
解得：t=4。
∴當(dāng)t為2秒或4秒時，矩形PEFQ為正方形。
（3）同（2）分0＜t＜和＜t≤4兩種情況討論：
如圖1，當(dāng)0＜t＜時，Q在P點的左邊
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，
∴。
∴當(dāng)t=時，S的最大值為，
如圖2，當(dāng)＜t≤4時，Q在P點的右邊，
∵OQ=t，PA=2t，∴。
∴。
∵當(dāng)＜t≤4時，S隨t的增大而增大，∴t=4時，S的最大值為：3×4²﹣8×4=16。
綜上所述，當(dāng)t=4時，S的最大值為：16。

解析試題分析：（1）根據(jù)直線與坐標(biāo)軸分別交于點A、B，得出A，B點的坐標(biāo)，再利用EP∥BO，得出，據(jù)此可以求得點P的運(yùn)動速度。
（2）當(dāng)PQ=PE時，以及當(dāng)PQ=PE時，矩形PEFQ為正方形，分別求出即可。
（3）根據(jù)（2）中所求得出S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而利用二次函數(shù)性質(zhì)求出即可。