如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與直線y=x交于點(diǎn)A,點(diǎn)B在直線上,∠BOA=90°.拋物線過(guò)點(diǎn)A,O,B,頂點(diǎn)為點(diǎn)E.
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)設(shè)直線y=x與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C,直線BC交拋物線于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)E作FE∥x軸,交直線AB于點(diǎn)F,連接OD,CF,CF交x軸于點(diǎn)M.試判斷OD與CF是否平行,并說(shuō)明理由.
解:(1)由直線與直線y=x交于點(diǎn)A,得
,解得,。
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(3,3)。
∵∠BOA=90°,∴OB⊥OA。
∴直線OB的解析式為y=﹣x。
又∵點(diǎn)B在直線上,∴,解得,。
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(﹣1,1)。
綜上所述,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(3,3),(﹣1,1)。
(2)由(1)知,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(3,3),(﹣1,1),
∵拋物線過(guò)點(diǎn)A,O,B,
∴,解得,。
∴該拋物線的解析式為。
∵,∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)是(,)。
(3)OD與CF平行。理由如下:
由(2)知,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=。
∵直線y=x與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C,∴C(,)。
設(shè)直線BC的表達(dá)式為,把B(﹣1,1),C(,)代入,得
,解得,。
∴直線BC的解析式為。
∵直線BC與拋物線交于點(diǎn)B、D,∴,解得,x1=,x2=﹣1.。
把x1=代入,得y1=,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(,)。
如圖,作DN⊥x軸于點(diǎn)N,
則
∵FE∥x軸,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,),
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)是。
把y=代入,得x=,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)是(,),
∴EF=。
∵CE=,∴。
∴∠CFE=∠DON。
又∵FE∥x軸,∴∠CMN=∠CFE。∴∠CMN=∠DON。
∴OD∥CF,即OD與CF平行。
解析試題分析:(1)由直線與直線y=x交于點(diǎn)A,列出方程組,通過(guò)解該方程組即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo);根據(jù)∠BOA=90°得到直線OB的解析式為y=﹣x,則,通過(guò)解該方程組來(lái)求點(diǎn)B的坐標(biāo)即可。
(2)把點(diǎn)A、B、O的坐標(biāo)分別代入已知二次函數(shù)解析式,列出關(guān)于系數(shù)a、b、c的方程組,通過(guò)解方程組即可求得該拋物線的解析式。
(3)如圖,作DN⊥x軸于點(diǎn)N,欲證明OD與CF平行,只需證明同位角∠CMN與∠DON相等即可。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
一座橋如圖,橋下水面寬度AB是20米,高CD是4米.要使高為3米的船通過(guò),則其寬度須不超過(guò)多少米.
(1)如圖1,若把橋看做是拋物線的一部分,建立如圖坐標(biāo)系.
①求拋物線的解析式;
②要使高為3米的船通過(guò),則其寬度須不超過(guò)多少米?
(2)如圖2,若把橋看做是圓的一部分.
①求圓的半徑;
②要使高為3米的船通過(guò),則其寬度須不超過(guò)多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)經(jīng)過(guò)A(3,0),B(4,1)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖(1),連接AB,在題(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖(2),連接AC,E為線段AC上任意一點(diǎn)(不與A、C重合)經(jīng)過(guò)A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F,當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在等邊△ABC中,AB=3,D、E分別是AB、AC上的點(diǎn),且DE∥BC,將△ADE沿DE翻折,與梯形BCED重疊的部分記作圖形L.
(1)求△ABC的面積;
(2)設(shè)AD=x,圖形L的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)已知圖形L的頂點(diǎn)均在⊙O上,當(dāng)圖形L的面積最大時(shí),求⊙O的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,直線與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B,與直線y=x交于點(diǎn)C.在線段OA上,動(dòng)點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)O做勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P、Q其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線,交直線AB、OC于點(diǎn)E、F,連接EF.若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形PEFQ總為矩形(點(diǎn)P、Q重合除外).
(1)求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是多少?
(2)當(dāng)t為多少秒時(shí),矩形PEFQ為正方形?
(3)當(dāng)t為多少秒時(shí),矩形PEFQ的面積S最大?并求出最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某商家獨(dú)家銷(xiāo)售具有地方特色的某種商品,每件進(jìn)價(jià)為40元.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,一周的銷(xiāo)售量y件與銷(xiāo)售單價(jià)x(x≥50)元/件的關(guān)系如下表:
銷(xiāo)售單價(jià)x(元/件) | … | 55 | 60 | 70 | 75 | … |
一周的銷(xiāo)售量y(件) | … | 450 | 400 | 300 | 250 | … |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
一汽車(chē)租賃公司擁有某種型號(hào)的汽車(chē)100輛.公司在經(jīng)營(yíng)中發(fā)現(xiàn)每輛車(chē)的月租金x(元)與每月租出的車(chē)輛數(shù)(y)有如下關(guān)系:
x | 3000 | 3200 | 3500 | 4000 |
y | 100 | 96 | 90 | 80 |
租出的車(chē)輛數(shù) | | 未租出的車(chē)輛數(shù) | |
租出每輛車(chē)的月收益 | | 所有未租出的車(chē)輛每月的維護(hù)費(fèi) | |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn).
(1)寫(xiě)出這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸;
(2)設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為D,與y軸交于點(diǎn)C,它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E,連接AD、DE和DB,當(dāng)△AOC與△DEB相似時(shí),求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。
[提示:如果一個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A,那么它的表達(dá)式可表示為:]
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(2013年浙江義烏10分)為迎接中國(guó)森博會(huì),某商家計(jì)劃從廠家采購(gòu)A,B兩種產(chǎn)品共20件,產(chǎn)品的采購(gòu)單價(jià)(元/件)是采購(gòu)數(shù)量(件)的一次函數(shù).下表提供了部分采購(gòu)數(shù)據(jù).
采購(gòu)數(shù)量(件) | 1 | 2 | … |
A產(chǎn)品單價(jià)(元/件) | 1480 | 1460 | … |
B產(chǎn)品單價(jià)(元/件) | 1290 | 1280 | … |
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