【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC的平分線AO交BC于點D,點H為AO上一動點,過點H作直線l⊥AO于H,分別交直線AB、AC、BC、于點N、E、M.
(1)當直線l經過點C時(如圖2),求證:BN=CD;
(2)當M是BC中點時,寫出CE和CD之間的等量關系,并加以證明;
(3)請直接寫出BN、CE、CD之間的等量關系.
【答案】(1)證明見解析;(2)CD=2CE;(3)當點M 在線段BC 上時,CD=BN+CE ; 當點M 在BC 的延長線上時,CD=BN-CE ; 當點M 在CB 的延長線上時,CD=CE-BN.
【解析】試題分析:(1)連接ND,先由已知條件證明:DN=DC,再證明BN=DN即可;
(2)當M是BC中點時,CE和CD之間的等量關系為CD=2CE,過點C作CN'⊥AO交AB于N'.過點C作CG∥AB交直線l于G,再證明△BNM≌△CGM問題得證;
(3)BN、CE、CD之間的等量關系要分三種情況討論:①當點M在線段BC上時;②當點M在BC的延長線上時;③當點M在CB的延長線上時.
試題解析:(1 )證明:連接ND ,
∵AO 平分∠BAC , ∴∠1= ∠2 ,
∵直線l ⊥AO 于H , ∴∠4= ∠5=90 °, ∴∠6= ∠7 , ∴AN=AC ,
∴NH=CH , ∴AH 是線段NC 的中垂線,∴DN=DC ,∴∠8= ∠9 ,∴∠AND= ∠ACB ,
∵∠AND= ∠B+ ∠3 ,∠ACB=2 ∠B , ∴∠B= ∠3 , ∴BN=DN , ∴BN=DC ;
(2 )如圖,當M 是BC 中點時,CE 和CD 之間的等量關系為CD=2CE.
證明:過點C 作CN' ⊥AO 交AB 于N' ,
由(1 )可得BN'=CD ,AN'=AC ,AN=AE ,∴∠4= ∠3 ,NN'=CE ,
過點C 作CG ∥AB 交直線l 于G ,∴∠4= ∠2 ,∠B= ∠1 ,∴∠2= ∠3 ,∴CG=CE ,
∵M 是BC 中點, ,∴BM=CM ,
∴在△BNM 和△CGM 中,△BNM ≌△CGM , ∴BN=CG ,∴BN=CE ,
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE ;
(3 )BN 、CE 、CD 之間的等量關系:
當點M 在線段BC 上時,CD=BN+CE ;
當點M 在BC 的延長線上時,CD=BN-CE ;
當點M 在CB 的延長線上時,CD=CE-BN.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,弦ED⊥AB于點F,點C是劣弧AD上的動點(不與點A、D重合),連接BC交ED于點G.過點C作⊙O的切線與ED的延長線交于點P.
(1)求證:PC=PG;
(2)當點G是BC的中點時,求證:;
(3)已知⊙O的半徑為5,在滿足(2)的條件時,點O到BC的距離為,求此時△CGP的面積.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.
(1)求證:△ADC≌△CEB.
(2)AD=5cm,DE=3cm,求BE的長度.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】我們知道:任意一個有理數與無理數的和為無理數,任意一個不為零的有理數與一個無理數的積為無理數,而零與無理數的積為零.由此可得:如果ax+b=0,其中a、b為有理數,x為無理數,那么a=0且b=0.
運用上述知識,解決下列問題:
(1)如果(a-2)+b+3=0,其中a、b為有理數,那么a= ,b= ;
(2)如果(2+)a-(1-)b=5,其中a、b為有理數,求a+2b的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】李老師對她所教學生的學習興趣進行了一次抽樣調查,她把學生的學習興趣分為三個層次:很感興趣;較感興趣和不感興趣;并將調查結果繪制成了圖①和圖②的統計圖(不完整).請你根據圖中提供的信息,幫助李老師解答下列問題:
(1)此次抽樣調查中,共調查了 名學生;
(2)補全條形統計圖,并在扇形統計圖中填上百分數;
(3)求圖②中表示“不感興趣”部分的扇形所對的圓心角;
(4)根據抽樣調查的結果,請你估計李老師所在的學校800名學生中大約有多少名學生對學習感興趣(包括“很感興趣”和“較感興趣”).
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